“且、或、非”与“交、并、补”(张晓军 )

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1、“且、或、非”与“交、并、补”摘要逻辑联结词“且”、“或”、“非”与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关，掌握它们的关系你会发现逻辑联结词其实很容易理解。关键词逻辑联结词真命题假命题天长中学张晓军逻辑联结词是学习简易逻辑知识的基础，与其它内容有着密切的联系，在学习该部分内容时，不少同学由于对逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义理解不透，而常常造成解题失误。实际上，集合中的“交”、“并”、“补”与逻辑联结词“且”、“或”、“非”密切相关，本文将和你谈谈它们之间的关系。一、“且”与“交”的关系先看一个具体例子.我们知道，由“２是偶

2、数”与“２是质数”都是真命题，可以得到“２是偶数且是质数”是真命题.另一方面，由集合的“交”运算可以知道：由２∈｛偶数｝，２∈｛质数｝，可以得到２∈｛偶数｝∩｛质数｝.如果把“真”对应于“∈”，“且”对应于“交”，那么，“２是偶数是真命题”可以对应于“２∈｛偶数｝”，“２是质数是真命题”可以对应于“２∈｛质数｝”，“２是偶数且是质数是真命题”就可以对应于“２∈｛偶数｝∩｛质数｝”.从上述例子得到启发，我们可以在逻辑联结词“且”与集合的“交”运算之间建立联系.我们知道，对于逻辑联结词“且”有：如果p，q都是真命题，则p∧q是真命题；

3、如果p，q中至少有一个是假命题，则p∧q是假命题.对于集合的“交”有：若a∈Ｐ，a∈Q，则a∈P∩Q；若aP或aQ，则aP∩Q.把命题p，q分别对应于集合Ｐ，Ｑ，“真”“假”“∧”分别对应于“∈”“”“∩”，那么上述关于“且”与“交”的规定就具有形式的一致性.更具体地说，就是“p是真命题”对应于“a∈P”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“p∧q是真命题”对应于“a∈Ｐ∩Ｑ”，“p∧q是假命题”对应于“aP∩Q”.二、“或”与“并”的关系再看一个具体例子.我们知道，由“是无理数”与“是实数”都是真命题，可以得到“是无理数或是实数”

4、是真命题.同样由集合的“并”运算可以知道：由∈｛无理数｝，∈｛实数｝，可以得到∈｛无理数｝∪｛实数｝.如果把“真”对应于“∈”，“或”对应于“并”，那么，“是无理数是真命题”可以对应于“∈｛无理数｝”，“是实数是真命题”可以对应于“∈｛实数｝”，“是无理数或是实数是真命题”就可以对应于“∈｛无理数｝∪｛实数｝”.于是，我们可以在逻辑联结词“或”与集合的“并”运算之间建立联系.我们知道，对于逻辑联结词“或”有：如果p，q都是假命题，则p∨q是假命题；如果p，q中至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.对于集合的“并”有：若aＰ，aQ，

5、则aP∪Q.若a∈Ｐ，aQ，则a∈P∪Q或者若aＰ，a∈Q，则a∈P∪Q.把命题p，q分别对应于集合Ｐ，Ｑ，“真”“假”“∨”分别对应于“∈”“”“∪”，那么上述关于“或”与“并”的规定就具有形式的一致性.也就是说“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于“aP”，“q是真命题”对应于“a∈Q”，“q是假命题”对应于“aQ”，“p∨q是假命题”对应于“aＰ∪Ｑ”，“p∨q是真命题”对应于“a∈P∪Q”.由此我们知道逻辑联结词中“或”的含义与并集中的“或”的含义是一致的，但要注意它们都不同于生活用语中“或”的含义，生活用语

6、中“或”表示“不兼有”，而我们在数学中所研究的“或”则表示“可兼有但不必须兼有”。三、“非”与“补”的关系同样我们先看一个具体例子.若以整数集为全集，则偶数集和奇数集互为补集.由“２是偶数”是真命题，可以得到“２是奇数”是假命题；由“３是偶数”是假命题，可以得到“３是奇数”是真命题.用集合的方式则可表达为：由２∈｛偶数｝，可以得到２｛奇数｝；由３｛偶数｝，可以得到３∈｛奇数｝.如果把“非”“真”“假”分别对应于“补”“∈”“”，那么，命题p和它的否定p可以对应于集合Ｐ和它的补集，“p是真命题”对应于“a∈P”，“p是假命题”对应于

7、“”，“p是假命题”对应于“aP”，“p是真命题”对应于“”.一般地，对于逻辑联结词“非”有：若p是真命题，则p是假命题；若p是假命题，则p是真命题.对于集合的“补”有：设Ｕ为全集，，若a∈Ｐ，则；若，则.对“非”的理解，可联想集合中“补集”的概念。“非”有否定的意思，一个命题经过使用逻辑联结词“非”而构成一个复合命题“非”，当真时，则“非”假；当假时，则“非”真。若将命题对应集合，则命题非就对应着集合在全集中的补集。通过上面的叙述我们发现“非”与“补”的规定也具有形式的一致性.四、范例剖析例1判断下列复合命题的真假,写出其否命题

8、并判断真假（1）；（2）-1是偶数或奇数；（3）。解（1）此命题用集合符号表示即对应于命题中的“”，其中p:,q:,因为p为假命题，q为真命题，所以“”为假命题，故原命题为假命题。其否命题为：，用集合符号表示即对应于命题中的“”，其中:,:,因为为