139 数学花园漫游记 马希文

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1、打开这本书，我就带你到数学的花园里去漫步。你已经学习了不少数学知识。这些知识都在数学花园的大门口，或者在进门不远的地方。这些地方已经修起了许多美丽的花坛花棚，盖起了许多高楼大厦。你学过的数学知识，是这些建筑的基础。这一次，让我们尽可能走得远一些，去观赏一下数学花园里的新景色！数学的花园很大，分成许多地区，叫做数学的分支。你学习的代数、几何，就是数学的分支。每一个分支，又分成许多小的分支。不论大的分支，小的分支，几乎都有我们的同胞在工作；有的分支，还留下了我们祖先深深的脚印。你一定想知道，这些能工巧匠在那里干些什么。他们在锄地，灌水，栽花。他们在维修、改建和新建一座座精美的

2、建筑。你看陈景润，正在哥德巴赫猜想的塔边，研究着怎样把塔尖放上去。杨乐和张广厚，来到函数论大楼的阳台上，在那里布置了鲜艳的花草，使这座古老的建筑显得青春焕发。还有许多你不认识的人，他们在做着你没有听说过的事情。随我一路走过去吧！各种各样的景色会引起你的喜爱和关心。新奇的问题层出不穷，每一个分支里都有它独特的问题。有的你一眼就能看出它的实用价值；有的你会感到它是严肃的理论研究；有的你会觉得它是有趣的智力测验；有的还可能和你平时的看法不一致。这些问题，在它们自己的分支里都是有资格的代表。为了解决这些问题，人们已经花费了许多的时间和精力。他们反复琢磨，有的提出了新的观点和思想，

3、有的想到了新的方法和技巧。看看他们的成绩，听听他们的议论，你就可以接触到现代数学的脉搏，它是在怎样跳动着。希望你不要满足于看看而已。每当遇到一个新的问题，你应当想一想，这是一个什么性质的问题，你能解决它吗？每当听到一种新的思想，你应当想一想，这种思想的本质是什么，对你有没有启发？每当看到一种新的方法，你应当想一想，这种方法妙在哪里，你能用来解决其他问题吗？不然的话，你会入宝园而空回。数数问题谁不会数数？这也算个问题？当然罗，人有几个手指，屋子里有几把椅子，这谁也会数。但是也有一些数，不能靠“一、二、三⋯”这样简单的办法去数。比如中国有九亿七千多万人口，如果一、二、三⋯⋯这

4、样地数，就算一秒钟数两个，一天二十四小时不停地数，也只能数个，一年数＝个，也就是六千三百万多一点，九亿七千多万个就要数十五年还不止。在这个时间内，不知有多少人死去，多少人出生，怎么数得清呢？又比如教室里有多少座位，我们一般不是一个一个地数，而是数数有多少排，每一排有多少个座位，然后用乘法来计算。有一些数字很大，又只需要一个比较粗略的近似值，这时候，我们就要利用种种的办法进行估计。一本书有多少字？大体上可以用页数乘上每页的行数，再乘上每行的字数来估计。不过，即使是估计，有时候也需要认真思考，才能找到一个切实可行的好办法。例如，你头上有多少根头发？据说，人的头发有几十万根之多

5、，当然不可能一根一根地去数。你想用乘法来计算，可是头发不是成行成垅、整整齐齐地排好的。一种切实可行的办法，是测量一下长着头发的皮肤面积有多大，再数一数一个平方厘米的头皮上有多少根头发，这是可以数得清的。当然罗，头上这一平方厘米和那一平方厘米的头发可能不一样多。我们可以仔细观察一下，选有代表性的一个平方厘米。数头发并不重要，数森林中的树有多少棵，可是一件重要的事。这两个问题十分相似，可以用相同的办法去解决。但是，森林中的树木长得有稀有密，我们很难走遍整个林区，来挑选一块最典型的地方。这怎么办呢？最好的办法是任意挑选若干块地方，分别计算，然后求出平均数来。数学的研究说明，平均

6、数总是更加接近实际。研究这类问题的数学叫做数理统计。这是现代数学中一个非常活跃的分支。这里用的方法，叫做抽样方法。我们再举一个例子，来说明数理统计的用途。水库里养了鱼，每年要捕捉一些供应市场需要，爱吃鱼的人很多，最好多捕一些。捕得太多了，剩得就太少，会影响鱼的繁殖，明年就捕不到多少鱼了。为了掌握好捕鱼的数量，就需要知道水库里到底有多少鱼。这个问题看来和上面的问题很相象，其实要困难得多。因为鱼是游来游去的，而我们也不好选出一平方米水面，来数一数下面有多少鱼。渔业人员想出了一个巧妙的办法，他们捕上一千条鱼，给每条鱼都做上记号，比如在尾巴上剪去一个小角，然后放回水中。鱼儿到了水

7、里就四散游开去。过了几天，这些鱼均匀地散布在水库的各个地方了。渔业人员再捕上一千条鱼，一看，其中有二十条是做过记号的。他们想，如果水库中共有条鱼，其中有一千条被我们做过记号，那么，做过记号的鱼占全部条鱼的几分之几呢当然是了。现在捕了一千条鱼，其中有二十条做过记号，也就是说，在这一千条鱼中，有记号的鱼占这个比和前面那个比的值，大体上应该是一样的。所以，这样一来，就计算出了。五万条鱼，今年捕上三四万条，大概没问题吧！这个问题，简直象一个简单的比例问题，其实不然。你也去那里捕一千条鱼，数数有几条是做过记号的，你敢保证也是二十条吗？不