08年高考数学江西卷(理)最后一题研究

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1、08年高考数学江西卷（理）最后一题有点难22．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝＋＋，x∈(0，＋∞)．（1）当a＝8时，求f(x)的单调区间；（2）对任意正数a，证明：l＜f(x)＜2．令,则第(2)等价于:若a,b,c>0,abc=8求证:上式不等式(1)与2004年西部奥林匹克最后一题：设a,b,c是正数，求证：类似，且证明比这道西部奥林匹克题还难。而这道西部奥林匹克题当年参赛选手无一人完全证出。另外，2003年中国数学奥林匹克第三题：给定正数n,求最小正数λ,使得对于任何,就有不大于λ答案:当n≥3,λ=n-1当

2、n=3时,令即得(1)右边的等式。江西的宋庆老师说:今天阅卷结束。该题第2小题无人挨边；14分的题全省9分一人，8分二人。由此可知，（2）右边的不等式，江西的考生无人证出，基本上属于废题。所以第（2）小题不宜作高考题。此题也引起了张景中院士的兴趣，在“张景中院士解江西高考压轴题”一贴中命题人陶平生教授的证明：其中对右边不等式的证明思路基本上取自于前面提到的2003年中国数学奥林匹克第三题黄玉民教授解答。22．解：、当时，，求得，于是当时，；而当时，．即在中单调递增，而在中单调递减．（2）.对任意给定的，，由，若令，则…①，而

3、…②（一）、先证；因为，，，又由，得．所以．（二）、再证；由①、②式中关于的对称性，不妨设．则（ⅰ）、当，则，所以，因为，，此时．（ⅱ）、当…③，由①得,，，因为所以…④同理得…⑤，于是…⑥今证明…⑦,因为，只要证，即，即，据③，此为显然．因此⑦得证．故由⑥得．综上所述，对任何正数，皆有．说句实在话，该题命题人陶平生教授所给出的证明是最好的。问题只是这道好题在不恰当的时间出现在不恰当的地方。平心而论，不等式做到这个分上，可以说达到了一个佳境。2008-07-1221:03scpajmb的发言：确实，陶平生教授是不等式高手，所

4、命那道2005年全国联赛加试第二题，大家还记忆犹新。当然，宋老师也是不等式高手。我的这个证明不是最简单的，发到这里供参考。