D9.2二重积分的计算法

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1、第九章山东交通学院高等数学教研室第二节二重积分的计算法(一)利用直角坐标计算二重积分在D上连续时,若D为X-型区域则若D为Y-型区域则一、利用直角坐标计算二重积分存在特点？注:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,则有(2)若积分域较复杂,X-型域或Y-型域,则可将它分成若干必要时还可以交换积分次序.可选择积分次序,例1计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1:解法2:将D看作X-型区域,将D看作Y-型区域,例2计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:及直线则为计算简便,先对x后对y积分,例3计算

2、其中D是直线所围成的闭区域.解:因此取D为X-型域:先对x积分不行,注:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.由被积函数可知,例4交换下列积分次序解:视为X-型区域,积分区域:则D:例5交换下列积分次序解:视为Y-型区域,则积分区域由两部分组成:D例6计算二次积分的值解:的原函数不是初等函数，故需交换积分次序.分析:视为Y-型区域,由于积分区域D:则D:例7计算其中D由所围成.解:(如图所示)令例8求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:利用对称性,其曲顶柱体的顶为则所求体积为设两个直交圆柱方程为考虑第一卦限部分,内容小结

3、1.直角坐标系下二重积分化为二次积分的方法:若积分区域为则若积分区域为则2.计算步骤及注意事项画出积分区域，求出曲线的交点确定积分次序写出积分限计算要简便——积分区域分块要少二次积分好算为妙图示法不等式(先积一条线,后扫积分域)充分利用对称性思考与练习1.设且求提示:交换积分顺序,将x,y互换试将二重积分及y轴所围成.2.设在区域D上连续,D是由直线，曲线按两种积分次序化为二次积分X-型区域：提示：Y-型区域：提示:3.交换积分次序积分区域:X-型区域：计算二重积分其中:D为圆域解:4.利用对称性.5.交换积分顺序计算解：积分区域如图

4、.