D68几种重要的特殊向量场

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1、第八节（4）一、无旋场二、无源场三、调和场几种特殊重要的向量场第六章定义1.如果对于空间区域G内的任何简单闭曲线C，都可以做出一张以C为边界而完全属于G的曲面，那么域G称为一维单连域；如果对于G内任何不自身相交的闭曲面S，它所包围的区域全部属于G中，那么域G称为二维单连域.高斯例：两个同心球面围成的区域一维，非二维球域挖去一条直径非一维，二维轮胎面非一维，二维定理1一、无旋场定义2.设有向量场若线积分的值在G内与路径无关，则称A为保守场，其中A，B为G内任意两点；(2)若在G内恒有，则称A为无旋场；(3)若存在定义在G上的函数u，使则称A为有势场，并称

2、u为A的势函数或位函数。空间曲线积分与路径无关的条件定理1.设G是空间一维单连通域,则下列四个条件相互等价:(1)对G内任一分段光滑闭曲线,有环量(2)对G内任一分段光滑曲线,与路径无关，即A为一保守场；(3)在G内存在某一函数u,使(4)A是无旋场，在G内处处有即A为有势场；例1提示：所以A是有势场。求势函数的方法有以下三种：(1)线积分法(2)偏积分法(3)凑全微分法二、无源场定义3.若在向量场A的场域中处处有,则称A为无源场.定义4.通过场域某一块曲面S的所有向量线构成的一个管状区域称为向量管.定理2.设是二维单连域，则下列三个命题是等价的：

3、(3)在G内存在一向量函数B(M),使，即A是某向量场B的旋度场，其中B称为A的一个向量势.(1)若在G内恒有，即A为无源场；(2)A沿G内任一不自相交闭曲面S的通量为零，即定理3.在二维单连域G内，无源场A(M)穿过G内任一向量管的所有断面的通量均相等.三、调和场旋度和散度都等于零的向量场称为调和场THEEND