几种特殊结构的矩阵

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1、一、对角矩阵定义3.8所有非主对角线元素全等于零的n阶矩阵称为对角矩阵(diagonalmatrix).是一个四阶对角矩阵。n阶对角矩阵常记为§2.3几种特殊结构的矩阵中南财经政法大学信息学院信息系1显然,由主对角元就足以确定对角阵本身,故对角阵常简记为D=diag()详细写出就是这里当然允许对角元等于零.中南财经政法大学信息学院信息系2性质(1)两个同阶对角矩阵的和(或)差仍为对角矩阵(2)数k与对角矩阵的乘积仍为对角矩阵(3)两个同阶对角矩阵的乘积仍是对角矩阵,并且他们是可交换的中南财经政法大学信息学院信息系3中南财

2、经政法大学信息学院信息系4二、数量矩阵定义3.9如果n阶对角矩阵所有主对角线元素都相等，则称此矩阵为n阶数量矩阵,或标量矩阵(scalarmatrix).设数量矩阵当a=1时,对角元全为1的对角阵称为单位矩阵.返回中南财经政法大学信息学院信息系5中南财经政法大学信息学院信息系6三、三角形矩阵定义3.10如果n阶矩阵主对角线下方的元素都等于零，则称此矩阵为上三角矩阵.如果n阶矩阵主对角线上方的元素都等于零，则称此矩阵为下三角矩阵.A为n阶上三角矩阵；B为n阶下三角矩阵.对角矩阵既是上三角阵又是下三角阵.中南财经政法大学信息

3、学院信息系7如果A,B是同阶的上(下)三角形矩阵,则A+B,AB仍是上(下)三角形矩阵数k与A的乘积kA仍是上(下)三角形矩阵中南财经政法大学信息学院信息系8练习1在下列矩阵中,指出三角阵、对角阵、数量阵、单位阵：练习2根据所讨论的特殊形式的矩阵的概念，指出其有从属关系者.返回中南财经政法大学信息学院信息系9定义设为阶方阵，如果满足，即那么称为对称阵.对称阵的元素关于主对角线对称说明四、对称矩阵和反对称矩阵中南财经政法大学信息学院信息系10性质（1）对称矩阵A与B的和也是对称矩阵（2）数k与对称矩阵A的乘积kA仍为对称矩

4、阵.中南财经政法大学信息学院信息系11注意两个同阶对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.如中南财经政法大学信息学院信息系12定义如果n阶矩阵A满足AT=-A，即则称矩阵A为反对称矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系13中南财经政法大学信息学院信息系14性质（1）反对称矩阵A与B的和(差)也是反对称矩阵（2）数k与反对称矩阵A的乘积kA仍为反对称矩阵.中南财经政法大学信息学院信息系15注意:两个同阶反对称矩阵的乘积不一定仍是反对称矩阵.如中南财经政法大学信息学院信息系16例11证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.证明所

5、以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.命题得证.中南财经政法大学信息学院信息系18练习1中南财经政法大学信息学院信息系19