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1、[212,215]附录E标量函数对矢量/矩阵的导数教材中多次遇到关于矢量或矩阵的非负目标函数的最大或最小化问题，为了获得最优解，需要进行标量对矢量或矩阵的微分运算。（一）标量函数对实矢量的导数T考虑标量a()z，它是M维实矢量z=[,,...,zzz]的函数，实函数a()z关于z的导数定12M义为下述M维矢量：T∂∂aa()zz⎡()∂∂aa()zz()⎤=⎢,,...,⎥(E.1)∂∂z⎢zz∂∂z⎥⎣12M⎦显然，∂∂a()/zz0=等价于∂∂az()/z=0，其中mM=1~，这正是求解目标函数所有m驻点所必需的。进一步地，若存在N个不同的
2、关于z的标量函数aa(),zz(),...,a()z，则12NT行矢量az()=[(),aaz(),...,za()]z关于z的导数定义为下述MN×矩阵：12N⎛⎞∂∂aa()zz()∂a()z⎜⎜12?N⎟⎟⎜⎜∂∂zz∂z⎟⎟⎜111⎟⎟⎜⎟⎜∂∂aa()zz()∂a()z⎟∂∂T⎡⎤∂∂⎜⎜12?N⎟⎟az()==⎢⎥aa12()z,()z,...,aN()z⎜⎜∂∂zz∂z⎟⎟(E.2)⎜222⎟∂∂zz⎢⎥⎣⎦∂∂zz⎜⎟⎟⎜⎜@@B@⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜∂∂aa()zz()∂a()z⎟⎟⎜12?N⎟⎟⎜⎜⎝⎠∂∂zz∂z⎟⎟MMMT显然
3、，∂∂azzO()/=等价于∂∂az()/z=0，其中mM=1~，nN=1~。nmTT定义b=[,,...,bbb]为一M维实矢量，az()=[(),aaz(),...,za()]z以及cz()[(),=cz12M12N1Tca(),...,zz()]为两个N维实矢量，R为一MM×实数矩阵，其第m行n列元素为r，2Nmn,根据上述定义，我们有下述结果：⎛⎞∂∂zz∂z⎜⎜12?M⎟⎟⎜⎜∂∂zz11∂z1⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜∂∂zz∂z⎟⎟∂T⎜⎜12?M⎟⎟z⎜⎟==⎜⎜∂∂zz22∂z2⎟⎟I(E.3)∂z⎜⎟⎟⎜⎜@@B@⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜∂∂z
4、z∂z⎟⎟⎜12?M⎟⎟⎜⎜⎝⎠∂∂zz∂z⎟⎟MMM⎛⎞⎡⎤∑M∂⎢⎥zbmm⎜⎜⎣⎦m=1⎟⎟⎜⎜∂z1⎟⎟⎛⎞⎜b⎟⎜⎟1⎟⎜⎡⎤∑M⎟⎜⎟⎜⎟⎟⎜∂⎢⎥zbmm⎟⎜⎟⎛⎞∂∂bzTTzb⎜⎣⎦m=1⎟⎜b2⎟∂zT==⎜⎜⎜⎜∂z2⎟⎟⎟===⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎟⎟bIbb=(E.4)∂∂zz⎜⎜@⎟⎟⎜@⎟⎟⎝⎠∂z⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎡⎤∑M⎟⎟⎟⎜⎜⎝⎠bM⎟⎟⎜∂⎢⎥m=1zbmm⎟⎜⎣⎦⎟⎟⎝⎠∂zM-239-⎛⎞⎡⎤∑N∂⎢⎥acnn()()zz⎜⎣⎦n=1⎟N∂a()zN∂c()z⎜⎟⎛n⎞⎛n⎞⎜⎜⎜⎜∂z1⎟⎟∑n=
5、1()∂zcn()z⎟⎟⎜∑n=1()∂zan()z⎜⎜⎟1⎟⎟⎟⎟⎜⎜1⎜⎜⎡⎤∑N⎟⎟⎟⎟⎜T⎜⎜∂⎢⎥acnn()()zz⎟∑N∂an()z⎟⎟⎜N∂cn()z∂azcz()()⎜⎣⎦n=1⎟⎜⎜n=1()∂zcn()z⎟⎟⎟⎟∑n=1()∂zan()z==⎜⎜∂z2⎟⎟⎜⎜2⎟⎟+2∂⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟z⎜@⎟⎟⎜⎜⎜⎜@⎟⎟⎟⎟@⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎡⎤∑N⎟⎟⎜⎜∑N∂an()zc()z⎟⎟⎟⎟N∂cn()za()z⎜⎜∂⎢⎥⎣⎦n=1acnn()()zz⎟⎟⎟⎜⎜⎝n=1()∂zMn⎟⎟⎠⎝⎟⎟∑n=1()∂zMn⎠
6、⎝⎠∂zM⎛⎞∂∂aa12()zz()?∂aN()z⎛⎞c()z⎛∂∂cc12()zz()?∂cN()z⎞⎛⎞a()z⎜⎜⎜⎜⎜⎜∂∂zz11∂z1⎟⎟⎟⎜⎜1⎟⎟⎟∂∂zz11∂z1⎟⎟⎟⎜⎜1⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜∂∂aa12()zz()?∂aN()z⎟⎟⎟⎜⎜⎜c()z⎟⎟⎟∂∂cc12()zz()?∂cN()z⎟⎟⎟⎜⎜⎜a()z⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜∂∂zz22∂z2⎟⎟⎜⎜2⎟⎟+∂∂zz22∂z2⎟⎟⎜⎜2⎟⎟=⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎜⎟⎟⎟⎟⎜⎟⎟⎜⎜@@B@⎟⎟⎜⎜@⎟⎟⎜⎜@@B@⎟⎟⎜⎜@⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜∂∂aa12()z(
7、zz)(∂∂acN)⎟⎟⎟⎜⎝⎠c()z⎟⎜⎜12(z)∂c(zz)(∂cN)⎟⎟⎟⎜⎝⎠a()z⎟??NN⎝⎠∂zM∂∂zzMM⎝∂zM∂∂zzMM⎠⎡⎤⎡⎤∂∂azTT()cz()=+⎢⎥⎢⎥cz()az()(E.5)⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∂∂zz⎜⎛⎞∂⎣⎦⎡⎤∑∑MMzzr⎟⎜mn==11mnmn⎟⎜⎜∂⎟⎟⎜⎜z1⎟⎟⎛⎞∑Mzr⎟⎛⎞∑Mzr⎜⎟⎟⎜⎜n=1nn1⎟⎟⎜⎜m=1mm1⎟⎟⎜⎜∂⎣⎦⎡⎤∑∑MMzzr⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎜⎜⎟⎟mn==11mnmnM⎜∑M⎟T⎜⎟⎜∑zr⎟zr∂zRz⎜⎜⎟⎟⎜n=1nn2⎟⎟⎜m=1mm2⎟⎟==
8、∂⎜z⎟⎟+⎜⎟∂⎜⎜2⎟⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎟z⎜⎜⎟⎟⎜⎜@⎟⎟⎟⎟⎜⎜@⎜⎜@⎟⎟⎜⎜⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜⎜⎟⎟⎜⎝⎠∑Mzr⎟⎟⎟⎟⎜∑Mzr∂⎡⎤∑∑M
