高等数学高职学习资料

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1、书名：高等数学ISBN：978-7-111-49398-3作者：陶金瑞出版社：机械工业出版社本书配有电子课件一、拉格朗日(Lagrange)定理定理1:第一节拉格朗日定理洛必达法则第三章导数的应用拉格朗日中值定理可由下图来说明图3-1拉格朗日（1736－1813），法国籍意大利裔数学家和天文学家。在数学、物理和天文等领域做出了很多重大的贡献，他的成就包括著名的拉格朗日中值定理，创立了拉格朗日力学等等。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。拉格朗日中值定理的证明:构造辅助函数拉格朗

2、日中值公式洛必达(1661-1704)法国的数学家，又音译为罗必塔。现在，洛必达法则也被叫作伯努利法则。二、洛必达法则在书中第九章记载了瑞士数学家约翰‧伯努利发现并在1694年7月22日告诉他的一个著名定理：洛必达法则，即求一个分式当分子和分母都趋于零时的极限的法则。后人误以为是他的发明，故洛必达法则之名沿用至今。洛必达的《无限小分析》(1696)一书是微积分学方面最早的教科书，他最重要的著作是《阐明曲线的无穷小于分析》(1696)，这本书是世界上第一本系统的微积分学教科书，这对传播新创建的微积分理论起了很大的作用。回忆极限的四则运算法则:四则运算法则不能用！定理2：1、型未定

3、式[解][解][解]定理3：2、型未定式[解][解]3、其他未定型极限[解][解]这显然是一个错误的结果!注意3：只有未定式才能使用洛必达法则,非未定式极限应使用极限运算法则来处理.有些未定式,使用多次洛必达法则之后,已经成为非未定式极限,就不能再使用洛必达法则了.一、函数单调性的判定第二节函数的单调性与极值观察下列图形,能否发现其规律性?函数单调性的判别方法定理1:练一练例1.[解]练一练例2.[解]驻点注意例3例4例5定理3(极值存在的充分条件)二、函数的极值根据定义，结合下边图形，你是否能对极值做几点说明?注意[解][解]一、函数的最值第三节函数的最大值与最小值如图注意可

4、见[解][解]思考(二)函数的最值应用举例解:如图所示，设截去的小正方形边长为x，则做成的方匣容积为y=(48-2x)2x[例3]设有一块边长为48cm的正方形铁皮，从其各角截去同样的小正方形，做成一个无盖的方匣，问截去多少，方能使做成的匣子的容积最大?本题就归结为求函数y=(a-2x)2x在中的最大值问题了.令y′=12(24－x)(8－x)=0得当时，y′=0，所以截去边长为的小正方形时，所做匣子的容积最大.[例4]设由电动势E、内阻r与外阻R所构成的闭合电路如图所示，在r与E已知时，R等于多少才能使电功率最大?解:由电学知道，消耗在外阻R上的电功率为P=I2R，I为回路

5、中的电流.由欧姆定律知电流强度，所以电功率P为R的函数：(R＞0)解方程P′=0，得P在区间(0，+∞)内有唯一驻点R=r.由该问题的实际意义可知，电功率的最大值是存在的，故这唯一的驻点R=r处，电功率P取得最大值，即当外阻等于内阻时输出功率最大，最大功率为.因为练一练练一练[解]第四节曲线的凹凸性与拐点1.凹凸性的定义如图如图连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点．2.凹凸性的判别方法(1)(2)注意答案练一练例1答案练一练例2答案练一练例3答案练一练例4第五节函数图像的描述一、曲线的渐近线曲线渐近线的求法例1二、函数图像的描述[解]极大凸凹凸凹拐点极小[解]极大凹凹凸凸

6、拐点拐点第六节曲线的曲率一、曲线的曲率及其计算公式注意曲率问题就是研究曲线的弯曲程度问题平均曲率而曲率公式[解]二、曲率圆和曲率半径