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1、条件概率与乘法公式条件概率ConditionalProbability抛掷一颗骰子,观察出现的点数A={出现的点数是奇数}={1,3,5}B={出现的点数不超过3}={1,2,3}若已知出现的点数不超过3,求出现的点数是奇数的概率即事件B已发生,求事件A的概率 P(A|B)AB都发生,但样本空间缩小到只包含B的样本点设A,B为同一个随机试验中的两个随机事件,且P(B)>0,则称为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.定义条件概率ConditionalProbabilitySamplespaceReduce
2、dsamplespacegiveneventB条件概率P(A
3、B)的样本空间概率P(A
4、B)与P(AB)的区别与联系联系:事件A,B都发生了区别:(1)在P(A
5、B)中,事件A,B发生有时间上的差异,B先A后;在P(AB)中,事件A,B同时发生。(2)样本空间不同,在P(A
6、B)中,事件B成为样本空间;在P(AB)中,样本空间仍为。因而有例设100件产品中有70件一等品,25件二等品,规定一、二等品为合格品.从中任取1件,求(1)取得一等品的概率;(2)已知取得的是合格品,求它是一等品的概率.解设A表示取得一等
7、品,B表示取得合格品,则(1)因为100件产品中有70件一等品,所以(2)方法1:方法2:因为95件合格品中有70件一等品,所以例考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩,求这家有两个男孩的概率;若已知某家第一个是男孩,求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率.(假定生男生女为等可能)Ω={(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)}解于是得={(男,男),(男,女)}则B={(男,男),(男,女),(女,男)}A={(男,男)},设B=“有男孩”,=“第一个是男孩”A=“有两个男孩”,故两个条件概
8、率为乘法法则推广一批产品中有4%的次品,而合格品中一等品占45%.从这批产品中任取一件,求该产品是一等品的概率.设A表示取到的产品是一等品,B表示取出的产品是合格品,则于是所以解解一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,求(1)第一次取得白球的概率;(2)第一、第二次都取得白球的概率;(3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.设A表示第一次取得白球,B表示第二次取得白球,则(2)(3)(1)练一练全年级100名学生中,有男生(以事件A表示)80人,女生20人;来自北京的(以事件B表
9、示)有20人,其中男生12人,女生8人;免修英语的(以事件C表示)40人中,有32名男生,8名女生。求练一练某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”,B表示“活到25岁”则所求概率为全概率公式与贝叶斯公式解一、全概率公式因为B=AB∪,且AB与互不相容,所以=0.6一个盒子中有6只白球、4只黑球,从中不放回地每次任取1只,连取2次,求第二次取到白球的概率例A={第一次取到白球}全概率公式设A1,A2,...,An构成
10、一个完备事件组,且P(Ai)>0,i=1,2,...,n,则对任一随机事件B,有全概率公式例设播种用麦种中混有一等,二等,三等,四等四个等级的种子,分别各占95.5%,2%,1.5%,1%,用一等,二等,三等,四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5,0.15,0.1,0.05,求这批种子所结的穗含有50颗以上麦粒的概率.解设从这批种子中任选一颗是一等,二等,三等,四等种子的事件分别是A1,A2,A3,A4,则它们构成完备事件组,又设B表示任选一颗种子所结的穗含有50粒以上麦粒这一事件,则由全概率公式
11、:=95.5%×0.5+2%×0.15+1.5%×0.1+1%×0.05=0.4825贝叶斯公式Bayes’Theorem后验概率设A1,A2,…,An构成完备事件组,且诸P(Ai)>0)B为样本空间的任意事件,P(B)>0,则有(k=1,2,…,n)证明贝叶斯公式Bayes’Theorem例设某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,已知各车间的产量分别占全厂产量的25%,35%,40%,而且各车间的次品率依次为5%,4%,2%.现从待出厂的产品中检查出一个次品,试判断它是由甲车间生产的概率.解设A1,A2,
12、A3分别表示产品由甲、乙、丙车间生产,B表示产品为次品.显然,A1,A2,A3构成完备事件组.依题意,有P(A1)=25%,P(A2)=35%,P(A3)=40%,P(B
13、A1)=5%,P(B
14、A2)=4%,P(B
15、A3)=2%P(A1
16、B)=甲箱中有3个白球,2个黑球,乙箱中有1个白球,3个黑球。现从甲箱中任取一球放入乙箱中,再从乙箱任意取出一球。问从乙箱中取出白球的概率是多少?解设