均值不等式常用变形及解题方法总结

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1、均值不等式应用（一）均值不等式*也可是值为正的代数式1.调和平均数：2.几何平均数：3.算数平均数：4.平方平均数：·均值不等式：，当且仅当时等号成立常用：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。两个正数的等差中项不小于他们的等比中项。（二）常见变形1.2.3.4.5.6.（）7.（）8.9.（）10.（）11.12.（三）解题技巧（一定、二正、三相等、四同时）1.计算函数最值1/5·形函数2x5例：求函数y的值域。2x42解：令x4tt(2)211x52yx4t(t2)x24x24t1当t时函数在x轴

2、正半轴有最小值，在y轴负半轴有最大值，即t1t∵t1不属于区间2,，故等号不成立，考虑单调性。1∵yt在区间1,单调递增，t5∴y25∴所求函数的值域为,2·分离法2xx710例3.：求yx(1)的值域。x12/5解：4当,即时,yx2（1)59，当且仅当x＝1时等号成立x1·换元法例：已知，则解：令则·拼凑（系数、常数）2y22例：已知x，y为正实数，且x＋＝1，求x1＋y的最大值.2221＋y1y2解：x1＋y＝x2·＝2x·＋22221y222x＋(＋)1y2232

3、x1＋y＝2·x＋≤2≤2222451例：已知x，求函数yx42的最大值。445x5解：∵x4∴54x011∴y4x254x32314xx5541当且仅当54x，即x1时等号成立54x∴当x1时，y1。max·化积为和（因式分解、平方）1例：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值ab分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，

4、又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。230－2b30－2b－2b＋30b解一：由已知得a＝，ab＝，b＝b＋1b＋1b＋1∵a＞0∴0＜b＜15令t＝b+1，则1＜t＜163/52－2t＋34t－3116∴ab＝＝－2（t＋）＋34tt1616∵t＋≥2t·＝8tt∴ab≤181∴y≥当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。18解二：由已知得30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab2令u＝ab，则u＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤181∴y

5、≥18例：已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.22a＋ba＋b解一：利用算术平均与平方平均之间的不等关系，≤22223x＋2y≤2（3x）＋（2y）＝23x＋2y＝25解二：条件与结论均为和的形式，通过平方化函数式为积的形式，向“和为定值”条件靠拢。∵W＞0222W＝3x＋2y＋23x·2y＝10＋23x·2y≤10＋(3x)(2y)＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤20＝2515例：求函数y2x152(xx)的最大值。22分析：注意到21x与52x的和为定值。22解：y(2x152)x

6、42(2x1)(52)x4(2x1)(52)x8∵y03∴0y22当且仅当21x=52x，即x时取等号2∴y22。max·化和为积（化简、1的代换）19例：已知xy0,0，且1，求xy的最小值。xy19解：∵xy0,0,1xy19yx9∴xyxy1061016xyxy4/5yx9当且仅当时，上式等号成立xy19∵1xy∴xy4,12时，xy16。min·三角函数法例：设实数x,y,m,n满足，求mx+ny的最大值。解：令原式2.证明不等

7、式、比较大小（作差法、做商法、中间值法-1,0,1、基本不等式）19例：已知xy0,0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy19解：令xykx,0,y0,1xyxy99xy∴1.kxky10yx9∴1kkxky103∴12kk∴k16，m,161ab例：若ab1,Plgalgb,Q(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小关系22是.分析：∵ab1∴lga0,lgb01∴Q（lgalgb)lgalgbp2ab1∴Rlg()lg

8、ablgabQ22∴5/5