均值不等式变形技巧探求

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1、均值不等式变形技巧探求江西省吉水中学罗小亮周湖平331600[摘要]利用均值不等式求最值和证明不等式是高中数学一个重点，在运用均值不等式解题时，我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题目中的式子进行适当的变形。本文通过举例，归纳出几种方法，详细而全面地总结了基本不等式的应用技巧，希望通过这些基本不等式的应用技巧来说明公式的应用是全方位的、立体的、透明的。[关键词]均值不等式拆项添项换元不等式是高中数学的重要内容及求解数学问题的重要工具，运用重要不等式证明问题或解决最值问题时，根据不等式的结构，常常需要合理变形把问题转化为适合

2、使用重要不等式结构形式。在求最值时还要充分重视运用“一正、二定、三相等”三个条件，而成功实现变形是解决此类问题的关键。下面举例说明常见的方法与技巧。一、拆项例1设,求证：证明：∵∴，故原不等式等价于上式右边=∴原不等式成立。评注：这里将拆成后，再分别使用均值不等式便可证明。分拆已知项时，要把和（或积）变成定值，为应用均值不等式创造条件。二、配项例2已知a、b、c均为正数，求证：证明：因a、b、c均为正数，故，，，把这三个同向不等式相加，得；，即评注：分段应用基本不等式，然后整体相加得结论，是证明轮换对称不等式的常用技巧。在使用重要不等式时，若能巧妙地添式配项，则

3、可把问题转化。三、添项例3求函数的最小值4解：（当且仅当时取等号），所以当评注：求和的最值时，尽可能凑出定积，因此先添6再减6（使得含变量的因子的次数为零，同时取到等号）是解决本题的关键之所在。对于不具备应用均值不等式的条件的关系式，添加一些关系式，创造均值不等式的应用条件，也是一种常见手段。一、凑项例4已知x﹥0,y﹥0,且，求的最小值解：∵x﹥0,y﹥0，且∴，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为16评注：本题解法很多，但直接利用已知给出的“1”的式子来证明是最简便方法，根据求证式的结构，进行凑项处理，从而顺利解决问题。二、除项例5若对任意，恒成立，求的取值

4、范围解：，由均值不等式可知，即当时，取最小值5。此时，故的取值范围是评注：有些数学问题，将真分式变成分子为常数的繁分式，对分母应用均值不等式求解。三、分离例6已知x﹥3，求的最小值解：∵x﹥3，∴x-3﹥04评注：先尽可能地化简分子，使其含有与分母相同的因式（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量的因子的次数大或相等），然后通过裂项分离转化为求和的最值，进而凑定积（使含变量的因子的次数为零，同时取到等号）一、平方例7若，求证：证明：∵∴评注：有时通过平方运算，一可以把和（或积）凑成定值，二可以把和（或积）问题转化为积（和）问题。二、换元例8：已知a、b、c为

5、△ABC三边的长，求证：证明：设，则由三角形两边之和大于第三边，得m﹥0,n﹥0.p﹥0,且，，。于是评注：通过换元，改变了不等式结构，从而转化为重要不等式形式，使证题思路清晰、自然、简捷。功底不扎实是无法完成恒等目标变形，换元法是证明不等式的一种很重要的方法。三、放缩例9：已知，求的最小值解：∵∴∴∴评注：通过放缩，减少了变元，从二元变为一个变元，为应用均值不等式铺平了道路。四、引参4例10：设x、y、z是不全为零的实数，求的最大值解：设的取大值为,则，，又设∴由得，∴故，即=.评注：对不具备应用均值不等式的条件的关系式，通过引入参数对其中一项进行裂项，与其他

6、两项重组，求出参数的值，为应用均值不等式铺平了道路。均值不等式是高考的热点，有些数学问题不能明确地看出是否可以应用基本不等式，这时应针对针对题目的特点、问题采取适当的方法才能达到快速简捷、巧妙解题的目的，才能事半功倍，收到良好的效果。本文已发表在《数理化学习》2012年第12期4