高中数学：平面直角坐标系与曲线方程

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1、1.1平面直角坐标系与曲线方程1º数轴(直线坐标系)：2º平面直角坐标系：3º空间直角坐标系：任意点P实数x确定有序实数对(x,y)确定有序实数组(x,y,z)确定建立坐标系目的是确定点的位置.创建坐标系的基本原则：(1)任意一点都有确定的坐标与它对应；(2)依据一个点的坐标就能确定此点的位置.求出此点在该坐标系中的坐标.例1、选择适当的平面直角坐标系，表示边长为1的正六边形的顶点.数学运用ABCDEFOxyOxyABCDEF例2.某地区原计划经过B地沿着东北方向修建一条高速公路，但在A村北偏西300方向距A村500m处，发现一古代文物遗址W。经

2、过初步勘察，文物管理部门将遗址W周围200m范围划为禁区，已知B地位于A村的正西方向1km处，试问：修建高速公路和计划需要修改吗？解决问题的关键：确定遗址W与高速公路BC的相对位置.数学运用WABC4506005001000OxyOxy例3、求证：三角形的外心、重心、垂心在一条直线上。ABC数学运用GHDxyO’数学运用数学运用例4、已知点Q(a,b)，分别按下列条件求出点P的坐标：(1)P是点Q关于点M(m,n)的对称点；(2)P是点Q关于直线l:x-y+4=0的对称点.(1)点关于点对称：(2)点关于直线对称：“中点问题”.“垂直平分”.数学运用

3、平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。课堂小结1.2平面直角坐标系中的伸缩变换xO2y=sinxy=sin2x思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变,将横坐标x缩为原来的1/2,就得到正弦曲线y=sin2x.上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换，即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点,保持纵坐标不变

4、,将横坐标x缩为原来1/2,得到点坐标对应关系为:通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。也可以称为曲线按伸缩系数为1/2向着y轴的压缩变换（当k>1时，表示伸长，当k<1时，表示压缩）设点P（x,y）经变换得到点为通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。也可以称为曲线按伸缩系数为3向着x轴的伸长变换（当k>1时，表示伸长，当k<1时，表示压缩）在正弦曲线y=sin

5、x上任取一点P(x,y),保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的1/2,在此基础上,将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为通常把上式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应称为平面直角坐标系中的伸缩变换。注:（1）λ>0,μ>0（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下

6、进行伸缩变换。练习：1.在直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.（1）2x+3y=0;(2)x2+y2=12.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线变为曲线3.在同一直角坐标系下,经过伸缩变换后，曲线C变为x’2－9y’2=1，求曲线C的方程并画出图形。x’=3xy’=y思考1：在伸缩下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？思考2：“圆的一组平行弦的中点的轨迹是圆的一条直径”，你能依据伸缩变换的性质，猜想椭圆的一组平行弦中点的轨迹是什么吗？课堂小结：1.体会坐标法的思想,应用坐标法解决几何问题；2.掌握平面直

7、角坐标系中的伸缩变换。