高中数学选修2-1抛物线的几何性质

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1、抛物线的几何性质上述是我们上节课所学得抛物线的几种标准方程形式,这节课我们来研究抛物线的简单几何性质:范围对称性顶点离心率(二)、抛物线的几何性质范围1、由抛物线y2=2px（p>0）而所以抛物线的范围为y∈RP(x,y)对称性2、P(x,y)关于x轴对称由于点也满足，故抛物线(p>0)关于x轴对称.y2=2pxy2=2px顶点3、定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点（0，0）。P(x,y)离心率4、P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之

2、比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.小结方程图形范围对称轴顶点离心率x轴x轴y轴y轴lFyxOlFyxOlFyxOlFyxO例1、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm，求抛物线的标准方程及焦点的位置。FyxO解：如图所示，在探照灯的轴截面所在平面建立直角坐标系，使反光镜的顶点与原点重合，x轴垂直于灯口直径。AB设抛物线的标准方程是：由已知条件可得点A的坐标是（40，30），代入方程可得所求的标准方程为焦点坐标为例2.一抛物线拱桥跨度为52米

3、,拱顶离水面6.5米,一竹排上有宽4米,高6米的大木箱,问能否安全通过?XYOA例3、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。解：如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则，又

4、OA

5、=

6、OB

7、，所以x12+y12=x22+y22即：x12-x22+2px1-2px2=0,(X12-x22)+2p(x1-x2)=0,yxoAByxo(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.ABX1>0，X2>0，2p>0,X1=x2.即A,B关于x轴对称。[思考题]1.抛物线y

8、=4x2上到直线y=4x-5的距离最短的点的坐标是------------------.2.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别为p,q.则例4、若抛物线　上两点A、B，满足OA⊥OB(O为坐标原点)求证：1）A、B两点的横坐标之积与纵坐标之积分别为定值。2）直线AB经过一个定点