浅谈操作探究问题中的辅助线

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1、浅谈“操作探究问题”中的辅助线几何图形中的操作开放与探究，与折叠有关的操作探究题，考查学生的动手能力和空间概念，有时需要学生根据题意自己补全图形，具有一定的难度，是近两年山西省中考的热点题型，学生在解答时要灵活把握操作活动的要求，并准确对应到图形，能够从中得出相关信息，作出合理的辅助线，使复杂的问题得到巧妙的解决，下面结合两个典型的中考题体会辅助线在“操作探究题”中的重要作用，我们以2015年山西中考23题、16题为例：23.综合与实践：制作无盖盒子任务一：如图1，有一块矩形纸板，长是宽的2倍，要将其四个角各减去一个正方形，折成高为4c

2、m，容积为616m3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）（1）请在图1的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕（2）请求出这块矩形纸板的长和宽任务一的关键是分析平面图形和长方体之间的关系，发现剪去的小正方体的边长就是长方体盒子的高，从而建立等量关系列出方程.任务二：图2是一个高为4cm的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图3是其底面，在五边形ABCDE中，BC=12cm，AB=CD=6cm，∠ABC=∠BCD=120°，∠EAB=∠EDC=90°试判断图3中AE与DE的数量关系，并加以证明方法一：如图1，AE=DE.证明如下：延

3、长AB，DC相交于点F，连接AD.∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠FBC=∠FBC=60°∴△BCF是等边三角形∴BF=CF∵AB=CD∴AF=DF∴∠FAD=∠FDA∵∠EAB=∠EDC=90°∴∠EAD=∠EDA∴AE=ED方法二：如图2，AE=DE.证明如下：延长AB，DC相交于点F，连接EF.∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠FBC=∠FBC=60°∴△BCF是等边三角形∴BF=CF∵AB=CD∴AF=DF∵EF=EF∵∠EAB=∠EDC=90°∴△EAF≌△EDF∴AE=DE方法三：如图3，AE=DE.证明如下：延长EA，E

4、D分别与直线BC相交于点F、G.∵∠ABC=∠BCD=120°∴∠FBA=∠DCG=60°∵∠EAB=∠EDC=90°∵∠FAB=∠GDC=90°∵AB=CD∴△BAF≌△CDG∴AF=DG∴∠F=∠G∴EF=EG∴AE=DE方法四：如图4，AE=DE.证明如下：取BC的中点F，连接AF，FD，AD∵AB=CD∵BF=CF∵∠ABF=∠DCF=120°∴△BAF≌△CDF.∴AF=DF，∠BAF=∠CDF∵∠DAF=∠ADF∵∠EAB=∠EDC=90°∴∠EAD=∠EDA∴AE=DE由于平时的课题学习，综合与实践经常被日常教学边缘化，所

5、以学生最怕与实际问题相结合，不会从题中选择有用的信息，从实际问题中抽象出数学模型，并运用所学知识来解决实际问题，所以23题有很多学生连接EB和EC，从而使问题不能得到正确的解答.近年山西中考关于应用操作的考查越来越突出，重点考查学生自主分析、获取信息、选择恰当模型、解决问题的能力.与折叠有关的操作探究题，考查学生的动手能力和空间概念，是进两年山西省中考的热点题型，解决此类问题，需要准确理解折叠的本质，即轴对称的性质，特别注意对称轴的作用，能够作出合理的辅助线，使复杂的问题得到巧妙的解决，下面我们看看2015年山西中考16题：16.如图，

6、将正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点D落在边AB上，对应点为D′，点C落在C′处.若AB=6，AD′=2，则折痕MN的长为___方法一：如图5，证明如下：过点N做EN垂直AD，在Rt△AMD′中，设AM=x，由勾股定理可以求出AM=，又因为△AD′M∽△BFD′，经过计算可得到FD′=5，BF=3，FC′=1又因为△C′FN∽△BFD′经过计算可得到NC′=，NC=所以EM=在Rt△EMN中，由勾股定理可求出MN=以上求解过程中两次勾股定理，两次三角形的相似，运算量很大，步骤烦琐.方法二：如图6，证明如下：过点N做EN垂直AD，连接DD

7、′.由折叠的性质可知，MN⊥DD′∵∠EPD=∠NPD′∴∠EDP=∠MNPEN=AD=6∵∠DAD′=∠NEM=90°∴△NEM≌△DAD′∴EM=AD′=2在Rt△EMN中，由勾股定理可求出MN=本题是填空题的压轴题，此题在解答时要抓住折叠前后的图形对应边相等，对应角相等来思考，无论哪种方法，都要注意折叠性质的应用，但是辅助线能起到事半功倍的效果.很显然方法二比方法一更简单，少了很多繁琐的计算，使复杂的问题简单化.几何图形的操作探究问题是中考的必考内容之一，体现操作性，开放性与探究性，所以要充分的审题，依据图形中的条件作出合理的辅助

8、线，能使使复杂的问题得到巧妙的解决.