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1、http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！几何题中常用辅助线的作法稍微复杂一点的几何问题，总要添加辅助线，通过恰当的辅助线，我们可以较快地寻求证题的途径和方法，减少弯路，本文就初中几何常用的辅助线作一小结，并分别举例说明.一、连结即连结已知两点得到线段，这是几何中最基本，最常用的辅助线，通过连结两点可得三角形或四边形，如连结圆心和切点可得垂直关系，连结等腰三角形的顶点与底边中点可得垂直与平分.例1 如图1，等腰△ABC中，D为底边BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF.证：连结AD.∵AB=AC
2、,D为底边BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF例2 如图2，已知⊙O与⊙O相交于A、B,从⊙O上一点P作直线PA、PB分别交⊙O于C、D，PE是⊙O的切线.求证：PE∥DC.证：连结AB。∵PE为切线，∴∠EPC＝∠ABP.∵ ，∴∠ABP=∠C，∴∠EPC=∠C，∴PE∥DC.评注：相交两圆的公共弦对两圆中角的沟通作用很大，故在两圆相交的问题中，通常要尝试连结公共弦这条辅助线.二、延长（或截取）一般在证明两线段和（或差）等于第三条线段时，或者几条线段之间的关系时，都采用截长补短法，这里主要渗透了化归思想.例3 已知
3、P是△ABC中∠A的外角平分线上任一点，求证：AB＋AC＜PB+PC.证：如图3，延长BA至D，使AD=AC，连结PD，则△APD≌△APC，所以PD=PC,在△BPD中，有BD＜PB＋PD，∴AB＋AC＜PB+PC.例4如图4，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD边上的两点，∠EAC=45°，求证：EF=BE＋DF.证：延长CD至G，使DG=BE.∵AB=AD,∠B=∠ADG=Rt∠，∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG,∠BAE=∠DAG.∵∠BAE+∠FAD=45°，∴∠FAD+∠DAG=45°，∴∠EAF=∠FAG=45°，∴△AEF≌△AFG
4、，∴FG=EF，∴EF=FD+DG=FD+BE.学数学用数学专页报第3页共3页搜资源上数学中国网http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！三、平移即作平行线，利用线段的平行移动，可以构造许多可以利用的基本图形，如相似三角形、平行四边形等等，其缜密的思路有很强的启发性.例5 如图5，已知AD是△ABC的平分线.求证：.分析：要证，一般只要证BD、DC与AB、AC，或BD、AB与DC、AC，所在的三角形相似，现在B、C、D三点共线，需要考虑用别的途径换比，在结论中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项，所以考虑过C作C
5、E∥AD交BA的延长线于E.从而得到BD、DC、AB的第四比例项，这样只需要证明AC=AE就可以了，请同学们自己完成本题证明.例6 已知，如图6，点D、E分别在BC、AB边上，AD、CE相交于F，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1.求：的值.解：作DG∥CE交AB于G；作EH∥BC交AD于H，则.∴∴同理：∴=四、作垂线在圆中，遇到与弦有关的问题时，常常要过圆心作弦的垂线，以及证明一条直线是圆的切线时，要过圆心作直线的垂线.在等腰三角形中，作底边的高线，可利用等腰三角形三线合一的性质，等等.例7 已知⊙O的半径OA=1,弦AB、AC的长分别是、,求
6、∠BAC的度数.分析：如图7，由半径OA=1，弦AB、AC的长分别是、，联想到过O作弦AC、AB的垂线，同时考虑到AB、AC与OA的位置关系，需分类讨论，故本题有两解.简解：如图7所示，易求∠CAD=30°，∠OAC=30°.当AC、AB位于OA的同侧时，有∠BAC=15°；当AC、AB位于OA两侧时，有∠BAC=75°.五、作切线一般是两圆相切时，常作出过切点的公切线.例8 如图8，⊙O与⊙O内切于点P，⊙O的弦AB切于⊙O于点C,PA、PB分别交于⊙O点E、F,求证：PC平分∠APB.证：作两圆的公切线PT,连结CE,则∠B=∠TPA,∠ECP=∠
7、TPA学数学用数学专页报第3页共3页搜资源上数学中国网http://www.mathschina.com彰显数学魅力！演绎网站传奇！∵AB是⊙O的切线，∴∠BCP=∠CEP.∴∠APC＝∠BPC，即PC平分∠APB.本题证法很多，请同学们考虑其他证法，当两圆相切时，过切点作两圆的公切线，能将圆周角和弦切角进行转换来证题，这种转化的思想要认真体会并能灵活运用.六、补圆例9 如图9，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D.求证：AD=AB·AC-BD·CD证：作△ABC的外接圆⊙O，延长AD交⊙O于E,连接BE,由相交弦定理，得AD·DE=BD·CD.在△
8、ABE和△ADC中，∠BAD=∠CAD,∠E=∠C,∴△ABE∽△ADC.∴，∴AD·AE=A
