4.3.1 空间直角坐标系

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1、1§4.3.1空间直角坐标系X问题引入1．数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？2．直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？数轴Ox上的点M，可用与它对应的实数x表示；直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示．xOyAOxxM(x,y)xy问题问题引入3．怎样确切的表示室内灯泡的位置？问题问题引入4．空间中的点M用代数的方法又怎样表示呢？当建立空间直角坐标系后，空间中的点M，可以用有序实数（x，y，z）表示．问题OyxzMxyz（x，y，z）yxz如图，是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC,的方向为正方向，以线段OA,OC,的长为单位长，建立

2、三条数轴：x轴、y轴、z轴．这时我们说建立了一个空间直角坐标系，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．空间直角坐标系的建立ABCO右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．空间直角坐标系的建立----右手直角坐标系画法：在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，

3、依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．空间直角坐标系---点的坐标yxzM’O设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．MRQP反过来，给定有序实数组（x，y，z），我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q和R，分别过P、Q和R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．空间直角坐标系---点的坐标yxzM’OMRQPyxzPM’QOMR这样空间一点M的坐标可以用有序实数组（x，y，z）来表示，有序实数组（x，y，z）叫

4、做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M（x，y，z）．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．空间直角坐标系---点的坐标yxzABCOOABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点，分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向，以线段OA,OC,OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．空间直角坐标系(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)C'D'B'A'COAByzxxoy平面上

5、的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为0x轴上的点纵坐标竖坐标为0z轴上的点横坐标纵坐标为0y轴上的点横坐标竖坐标为0一、坐标平面内的点二、坐标轴上的点规律总结：βγα三．卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；八个卦限中点的坐标符号分

6、别为：I：（+，+，+）；II：（－，+，+）;III：（－，－，+）；IV：（+，－，+）；V：（+，+，－）；VI：（－，+，－）；VII：（－，－，－）；VIII：（+，－，－）；例1如下图，在长方体中，，　　　　，　　　　写出四点D’，C，A’，B’的坐标．解：在z轴上，且，它的竖坐标是2；它的横坐标x与纵坐标y都是零，所以点的坐标是（0，0，2）．点C在y轴上，且，它的纵坐标是4；它的横坐标x与竖坐标z都是零，所以点C的坐标是（0，4，0）．同理，点的坐标是（3，0，2）．OyxzACB典型例题例1如下图，在长方体中，，　　　　，　　　　写出四点D’，

7、C，A’，B’的坐标．OyxzACB典型例题解：点B’在平面上的射影是B，因此它的横坐标x与纵坐标y同点B的横坐标x与纵坐标y相同．在xOy平面上，点B横坐标x=3，纵坐标y=4；点B’在z轴上的射影是D’，它的竖坐标与点D’的竖坐标相同，点D’的竖坐标z=2．所以点B’的坐标是（3，4，2）．例2结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．典型例题解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．例2结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱

8、长为的小正方体堆积成的正