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1、第17卷第6期大学物理Vol.17No.61998年6月COLLEGEPHYSICSJune.1998摆球线度对摆动周期的影响刘文瑞其木苏荣(内蒙古民族师范学院物理系,通辽028043)摘要将细线下悬挂一小球的摆动装置,作为一个双自由度的力学系统进行了讨论,计算了摆动周期,并同复摆周期作了比较.关键词单摆;周期;双自由度分类号O313在物理实验中,一根不可伸长的轻线悬挂xc=lcosφ1+rcosφ2一小球,作幅角很小的摆动,这种装置常视为单yc=lsinφ1+rsinφ2(3)摆[1].若摆线长
2、为l,小球半径为r,其周期近2摆球对质心的转动惯量为(2/5)rm,摆球似为T0=2π(l+r)/g.为了得到较精确的绕通过质心C且垂直于固定平面的轴线的转周期值,人们又常将上述摆动装置视为复摆,由动方程为此导出周期公式.事实上,上述摆动装置并非刚22mrφ¨2=-Frsin(φ2-φ1)(4)性结构,而是具有两个自由度的力学系统,其运5动情形比复摆复杂许多,其复杂的摆动现象,在设摆角φ1和φ2都很小,则式(3)近似为摆球质心明显地偏离了摆线方向的摆动初期,xc=l+r,yc=lφ1+rφ2(5)
3、可以清楚地观察到.将上式代入式(1)、(2)、(4)中,并作相同的近似如图1所示,摆处理、经整理合并后得线的质量忽略不计,lφ¨1+rφ¨2=-gφ1(6)摆球的质量为m,固22rφ¨2=-gr(φ2-φ1)(7)5定点为O,铅直方向设以上方程组的解的形式为为x轴,水平方向为iωtiωtφ1=A1e,φ2=A2e(8)y轴,摆线张力为F,φφ代入式(6)、(7)中可得1和2为偏角,摆2gr2球质心坐标为(xc,++ω-A1+ωA2=0(9)llyc).运动方程为5g25gA1+ω-A2=0(10)
4、m¨xc=-Fcosφ1+2r2rmg(1)图1方程中A1、A2具有非零解的条件是其系数行m¨yc=-Fsinφ1(2)列式为零,即2摆球质心坐标可表示为2g25g5gωω-ω-1-5序从=0(11)l2r2l收稿日期:1997-04-26;修回日期:1997-12-1120大学物理第17卷222该频率方程的解,有两个相异正根ω1和ω2.为T2l7r7r28r=1+-·1·+-便于同常见的周期公式相比较,将式(11)改写2π2g5l5l5l为周期T(T=2π/ω)的方程,即(20)5g2T475T
5、2r-g++1=0(12)上式用展院开物,则得并同2rl2π2l2r2πlT!耉22其解为2l4r4r=j-(21)·2π2g5l5l22Trl75rl7510=+±.+-单运r2π5g2l2r5g2l2rrl因n1,可得l(13)2rr2rT2=2π1-〉≈2π1(22)上式取“+”时,则是与ω1对应的周期T1,即5gl5g2显然T2远小于T1.T1l7r7r28rx=平2方1+(+1+-水设对应于本征频率ω1、ω2的A1和A2,分2πg号5l5l5l(1)(1)(2)(2)(14)别为A1、A
6、2和A1、A2,则方程φ1、φ2的通解为r因nj1,故可将上式第三项作泰勒展开,略去φ(1)(ωα)+A(2)(ωα)l1=A1cos1t+11cos2t+2高阶小项,有(23)(1)(2)7r28r3r4r2φ2=A2cos(ω1t+α1)+A2cos(ω2t+α2)1+-=1++-绕orsm5l5l5l5l(24)12r34r42-(15)由式(16)可见,ω22π,由式(9)、(10)可得T2n2T22r1l+r1
7、2r=1+-处理l(2π形比g1+(r/情l)5lr25g2A(1)ω1A(2)-ω21l12r6r32r4(1)=>0,(2)=2<0-(16)A2g-ω2Ag25g25l125lr12r将1展开为因此,本征频率ω=ω1的振动是φ1和φ2作同1+(r/l)向振动的一种振型,如图2(a)所示.ω=ω2的21rr=1-+(17)振动是φ1和φ2作反向振动的一种振型,如图1+(r/l)ll2(b)所示.代入式(16),并仅保留到(r/l)的四次项,则得223频率为ω2的振动周期很小,在摆动初期,T1l
8、+r2r16r=1+-+A2πg5l25l4178r(18)10125lr因n1,最后得l23l+r1r8rT1=2π-+g5l25l41++39r(19)125l当式(13)取“-”时,得与ω2对应的周期图2T2,即第6期刘文瑞等:摆球线度对摆动周期的影响21这种高频率的振型有时是可以观察到的.因周l+r1r22r32+1,T′=2π1+-+期很小,各点的运动速度很大,这种振型很快就g5l5l4被衰减了,只剩下周期为T1的振动.829r(27)50l通常,单摆周期的近似公式为00
