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1、32数学通报2010年第49卷第9期5复数的几何意义6的教学设计与教学反思芮玉贵(南京中华中学210006)1教学过程实录生:在解析几何初步和单位圆三角函数线中,1.1以史设疑,引入课题讲过有向线段OA的数量OA是实数,这算不算是师:1545年出现了负数开方问题.到了1637实数的几何意义呢?年,笛卡尔也认为负数开方是/不可思议的0,称这师:可以.如果给你一个实数a,那实数a的样的数为/虚数0(虚数一词沿用至今).1799年高绝对值/
2、a
3、0是不是也有几何意义?是什么?斯给出了复数的几何解释,并有了广泛应用,人们生:表示实数a在数轴上的对应的点A到原接受了复数.你猜猜
4、看,高斯是怎样给出复数的几点O的距离.何解释的?师:刚才回顾了与实数有关的几何意义,1.2类比联想,探索复数的几何意义有关实数的几何意义有关复数的几何意义师:~好象猜不出来,是吧?那怎么办啊?实数可以用数轴上的点来表示~其实我们人类研究新问题,研究未知问题的一个最基本方法,就是/由已知研究未知0,也就11是利用已知的东西研究未知东西.实数集的几何模型:数轴~我们已经知道,复数是由实数扩充得来的,那么,大家想高斯会怎么研究呢?~要研究复数的几何意义,利用什么已知来实数a可以用有向线段OA研究呢?的数量OA表示~既然复数由实数扩充得来,那能不能类比22实数的几何意义来研究
5、呢?实数a绝对值的几何意义:师:实数有什么几何意义呢?实数a在数轴上所对应的生:实数可以用数轴上的点来表示.点A到原点O的距离师:为什么实数可以用数轴上的点来表示呢?实数与数轴上的点是什么一种关系呢?那么,你能否想象一下怎么来刻画复数的几生:一一对应何意义?能不能用类比的方法从几何的角度来解师:对,实数与数轴上的点一一对应.这个/一释复数?请同学们先独立思考,然后小组讨论,大一对应0重要啊!家分享研究成果,并解释研究成果的合理性.正是由于一一对应,我们才可以把每一个实师:对复数的几何意义,你们各小组得到什么数,用数轴上的点(几何意义)来表示.数轴上的点结论?为什么?就
6、是实数的几何模型,也就是实数的几何意义之生:复数的几何意义是平面直角坐标系中的一.这样所有实数都在数轴上了,那么,实数集的点Z(a,b).因为每个复数z=a+bi(a,bIR)都可几何模型是什么?以看作是一个/有序实数对(a,b)0,实数对(a,b)生:数轴.与直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的.这师:实数还有其他几何意义吗?样,复数z=a+bi(a,bIR)就与平面直角坐标系2010年第49卷第9期数学通报33中点Z(a,b)一一对应.所以,复数z=a+bi(a,b又产生了一个新的认识.IR)就可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来什么新的认识呢?)))复数
7、可以看作是向表示.量,复数可以用向量表示.当然,我们还应该注意,师(板书图示):很好,在平面直角坐标系xOy复数(0,0)就与零向量对应.我们得到了复数的又中,以复数z=a+bi(a,bIR)的实部为横坐标,一种几何意义)))复数的向量意义.虚部为纵坐标,就确定了点Z(a,b),我们可以用师:如何理解复数z=a+bi(a,bIR)、复平点Z(a,b)来表示复数z=a+bi,这就是复数的面上的点Z(a,b)与平面向量OZ之间的关系?几何意义,也就是复数的几何模型.生:(1)三者有联系)))三者一一对应,是通过有序实数对在三者之间建立起一一对应关系.因此三者都表示复数z,
8、为了方便起见,把复数z=a+bi(a,bIR)说成点Z或向量OZ.师:类比实数集的几何模型是数轴,你们有什三者的联系可以用右图表示:么发现?生:复数集的几何模型是平面直角坐标系所在的平面.师:我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复数平面,简称复平面(也称高斯平面).那么x轴上的点和y轴上的点所表示的复数分别有什么特点?(2)三者有区别)))主要是表达形式不同.生:x轴上的点表示的是实数,y轴上的点表z=a+biy从数的角度刻画复数.示的是纯虚数.点Z(a,b)y从形的角度刻画复数.师:他说的有没有缺陷?向量OZy从形的角度刻画复数.生:有缺陷.应该是:y轴上的点
9、除原点外,表)))z=a+bi(a,bIR)称为复数的代数形式.示的都是纯虚数.)))点Z(a,b)称为复数的几何形式.师:哦,实数对应的点都在x轴上,我们给x)))向量OZ称为复数的向量形式.轴起个名字称为实轴.那么虚轴呢?生:y轴称为虚轴.师:还有什么发现?如果把绝对值概念推广师:还有什么发现?大家想想看,我们还用有到复数中来,复数绝对值的几何意义是什么?序实数对(a,b)表示过什么?复数z=a+bi,
10、z
11、zy?生:平面向量生:应该是/复数的对应点Z(a,b)到坐标原师:表示哪个向量呢?点O的距离0.生:OZ师:那么,这个距离怎么表示?刚才不是
