ALG不等式与导数压轴题

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1、ALG不等式与导数压轴题贾勇高考导数压轴题常常出现含有自然对数的底数""e"ln"的函数，设计一个与不等式相关的问题，如证明不等式、比较大小、求参数取值范围及函数最值等，像这样的不等式问题可以尝试用ALG不等式解决.一、ALG不等式介绍xx+xx−1221若记A=,L=,G=xx,则ALG,,分别是正数xx,的算术平均、12122lnxx−ln21对数平均、几何平均值.所谓ALG不等式指的是ALG>>。现将对数形式的ALG不等式的介绍如下：x在图1中，C为AB中点，线段CD⊥x轴，点D在函数fxe()=图象

2、上，过D的切线交BM于点E，交AN于点F.设Aa(,0)Bb(,0),ab≠,则直角梯形面积S>曲边梯形面积S>直角梯形面ABMNABMDNbaab+babaab+ee+bxeeee+−积S,⇔()ba−>edxeba>2()−,⇔>>≠eab2().这ABEF∫2a2ba−是ALG不等式的指数形式（此形式2013年陕西高考压轴题中出现过）.如果令b=lnxa,=ln,x（则abab>>≠0,0,）21babaab+eeee+−2xx12+−xx21[1]那么>>e⇔>>xx⇔ALG>>成立.122ba−2

3、lnxx−ln21二、证明函数不等式ALG不等式在导数压轴题中常常用到，先看看在函数中的重要地位，如：例1（2012年辽宁高考理数）设fx()=ln(x+++++1)x1axb（abR,,∈ab,为常3数），曲线yfx=()与直线yx=在(0,0)点相切.29x（1）求ab,的值；（2）证明：当02<

4、t−1)故原命题⇔当13<得<,从而=2+<+<113,LGtt−−11t229(t−1)−−−3(tt1)(2)gt()9(t−1)9x另一方面因为−=3>0,所以<<3即fx()<.222t+5t+5tt−+15x+6评析参考答案及后续解法篇幅较长、晦涩难懂，如果用ALG不等式有效降低了证明的难度、长度，较少计算量，而且本例中x的范围还可以加强为0<

5、LG不等式的指数形式中，如果xx'让ab,→x可以得到()ee=,同理在ALG不等式的对数形式中，如果让xx,→x可以12'1得到(ln)x=,从根本上说明仍然没能脱离导数的实质.x例2（2016年绵阳三诊理数）设函数gx()=lnx，fxgx()=[λλλ+−(1)]a−gx()，其中a,λ是正常数，且01<<λ.（1）求函数fx()的最值；（2）对于任意的正数m，是否存在正数x，使不等式0gx(+1)0

6、−<1

7、m成立？并说明理由；（3）设λλ>>0,0，且λλ+=1，证明：对于任意1212x0正数aa

8、,都有aaλλ12≤+λλaa.12121122分析对第（3）问直接入手尝试一下（可能过程繁琐一些），因为λλ+=1,为了减少121111参量，不是失一般性令λλ=+ttt,=+−<<,(),同样对于任意正数aa,不妨设12122222λλ12aaa1t12+0,<

9、1−−(aa),因为二阶导数gt()=aa()[ln()]>0⇒gt()在(,)−上单调递1212aa2222aa21−'a1增........①一方面LG>⇒>aa⇒g(0)=aaln()(−−>aa)0..121212lnaa−lna212aa111'a1②另一方面∀∈x(0,1)(1,+∞),lnxx<−1⇒ln<−1⇒g()−=a2ln()aa2a222111'−−()aa<0.....③；由①②③⇒存在唯一t∈−(,0)(,)⊆−使得gt()=0,且1200222'111'1'gt()在(,)−

10、上单调递增⇒当tt∈−(,)时，gt()0<；当tt∈(,)时，gt()0>⇒0022221111gt()在(,)−t上单调递减，在(,)t上单调递增⇒gt()<−=maxg(),()g0⇒002222aaλλ12≤+λλaa成立；如果0<