3.2 解一元一次方程(一)——合并同类项与移项

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1、约公元825年，中亚细亚数学家阿尔-花拉子米写了一本代数书，阿拉伯文书名是‘ilmal-jabrwa’lmuqabalah，直译应为《还原与对消的科学》．al-jabr意为“还原”，这里指把负项移到方程另一端“还原”为正项；muqabalah意即“对消”或“化简”，指方程两端可以消去相同的项或合并同类项．一般认为拉丁文中代数学一词algebra是由al-jabr演变而来．阿尔—花拉子米（约780——约850）怎样解方程?问题1：在一卷公元前1600年左右遗留下来的古埃及草卷中,记载者一些数学问题,其中一个问题翻译过来是：“啊哈,它的全部,它的其和等于16”.你能求出问题中的“它”?解:设问题中

2、的它为x，则：它的为.根据问题中的相等关系：它的全部＋它的＝16．可列方程合并同类项系数化为1x＝14分析：解方程，就是把方程变形，变为x=a（a为常数）的形式.答:问题中的它是14.解方程中“合并”起了什么作用？解方程中的“合并”是利用分配律将含有未知数的项和常数项分别合并为一项．它使方程变得简单，更接近x=a的形式.解：合并同类项，得2x＝－10系数化为1，得x＝－5.例1解下列方程：（1）5x－3x＝－10解：合并同类项，得2x＝7系数化为1，得解：合并同类项，得4x＝－9系数化为1，得（3）6x－1.5x－0.5x＝－9（4）3x＋5x－6x＝－3×4＋20解：合并同类项，得2x＝8.

3、系数化为1,得x＝4.简单方程解法步骤合并同类项；系数化为1．归纳例2有一列数,按一定的规律成－1，2，－4，8，－16，32，－64，···，其中某三个相邻数的和为1536，这三个数各是多少?解：设这三个相邻数中的第1个数为x，那么第2个数就是－2x，第3个数就是－2×（－2x）＝4x.根据这三个数的和是1536，得x－2x＋4x＝1536.合并同类项，得3x＝1536.系数化为1，得x=512.所以－2x=－1024,4x＝2048.答：这三个数是512、－1024、2048.问题2：有一批学生去游玩，若每辆车坐43人，则还有35人没座；若每辆车坐45人，则还有15人没座，求有多少辆车，多

4、少学生？解：设有x辆车.每辆车坐43人，共有43x人，加上没座的35人，共有学生43x＋35.若每辆车坐45人，共有45x人，加上没座的15人，共有学生45x＋15.找相等关系：学生的总人数是一个定值，表示它的两个式子应相等，所以列方程43x＋35＝45x＋15怎样解方程?43x＋35＝45x＋1543x－45x＝15－3543x＋35－35－45x＝45x＋15－35－45x等式性质1把等式一边的某一项变号后移到另一边.你发现了什么？移项合并同类项系数化成1x＝10－3x＝－3043x－45x＝15－3543x＋35＝45x＋15答：有10辆车，465个学生.所以学生总人数为：43×10＋3

5、5＝465（人）.移项把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项．知识要点通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式．以上解方程中“移项”起了什么作用？下面的移项对不对？如果不对，请改正？（1）从5＋2ｘ＝10，得2ｘ＝10＋5（2）从3ｘ＝2ｘ－5，得3ｘ＋2ｘ＝5（3）从－2x＋5＝1－3ｘ，得－2x＋3x＝1＋52x＝10－53x－2x＝－5－2x＋3x＝1－5练一练例3解下列方程.解：移项，得6x－3x＝8＋7合并同类项，得3x＝15.系数化为1,得x＝5.6x－7＝3x＋86x－3x＝8＋7移项时应注意改变项的符号解：移项，得合并同类项，得系数化成

6、1，得1．移项时，通常把含有未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边；2．移项要改变符号.注意解方程的步骤及依据：1．移项（等式的性质1）合并（分配律）系数化为1（等式的性质2）2．“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”3．表示同一量的两个不同式子相等．归纳现在你能回答前面提到的古老的代数书中的“对消”与“还原”是什么意思吗？“对消”与“还原”就是“合并”与“移项”.巩固练习1．简单方程解法步骤移项；合并同类项；系数化为1．归纳总结2．用一元一次方程分析并解决实际问题的基本过程：实际问题数学问题（一元一次方程）实际问题的答案数学问题的解（x=a）检验列方程解方程这是一个可靠的规律，当

7、数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。――A.N.怀特海