第7章平面弯曲

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时间:2019-06-19

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1、第7章平面弯曲7.1【学习基本要求】1、理解平面弯曲和对称弯曲、横力弯曲与纯弯曲的概念;2、掌握剪力和弯矩的概念,会求某一横截面上的剪力和弯矩;3、掌握梁的内力方程的写法;4、理解剪力、弯矩和分布载荷集度的微积分关系;5、熟练掌握微分法和叠加法作简单梁的剪力图和弯矩图;6、了解静定多跨梁的剪力图和弯矩图的作法;7、熟练掌握梁在平面弯曲时横截面上的正应力和切应力分布规律和计算公式;8、熟练掌握梁的弯曲正应力和切应力强度计算;9、掌握工程上几种常见截面梁的弯曲刚度和抗弯截面系数的计算公式;10、了解提高梁弯曲强度的措施;11、理解梁的变形的度量——挠度和转角的概念及其关系;12、

2、理解梁的挠曲线近似微分方程及其适用范围;13、会用积分法求梁的变形;14、掌握用叠加法求梁的挠度和转角;15、掌握运用刚度条件进行梁的刚度计算;16、了解提高梁弯曲刚度的措施。7.2【要点分析】1、对称弯曲和平面弯曲图7-1当杆件受到一组垂直于其轴线的力即横向力或位于轴线平面内的外力偶作用时,杆的轴线由一条直线变为曲线,称为弯曲变形。如果杆件的几何形状材料性能和外力都对称于杆件的纵向对称面则称为对称弯曲。如果杆件变形后的轴为形心主惯性平面内的平面曲线则称为平面弯曲。本章主要研究以对称弯曲为主的平面弯曲,如图7-1所示。【注意】对称弯曲必定是平面弯曲,但平面弯曲不一定是对称弯曲

3、。弯曲是工程实际中最常见的一种杆件的变形形式,通常把以弯曲为主的杆件称为梁。支座反力可以完全由静力平衡条件计算得到的梁称为静定梁。本章主要研究单跨静定梁,可分别三种形式,即简支梁、外伸梁和悬臂梁。2、梁的内力——剪力和弯矩梁的横截面上有两个分量——剪力和弯矩,它们都随着截面位置的变化而变化,可表示为FS=FS(x)和M=M(x),称为剪力方程和弯矩方程。为了研究方便,通常对剪力和弯矩都有正负规定:使微段梁发生顺时针转动的剪力为正,反之为负,如图7-2所示;使微段梁上侧受拉下侧受压的弯矩为正,反之为负,如图7-3所示。图7-2图7-3由截面法可知梁的剪力和弯矩都是与相应的外力组

4、成平衡力系,所以有以下结论:①梁的任一截面上的剪力等于该截面一侧所有竖向外力的代数和,且外力对截面形心产生顺时针转向的矩引起正剪力,否则引进负剪力;②梁的任一截面上的截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对该截面形心矩的代数和,且外力使得上侧受拉引起正弯矩,否则引起负弯矩。利用上述结论可以方便地由荷载图求得任一截面上的剪力和弯矩。表示沿梁的剪力和弯矩随截面位置变化的图线,也就是将剪力方程和弯矩方程用函数图形表现出来,称为剪力图和弯矩图。作图时以梁轴线为x轴,以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标,按照适当的比例绘出FS=FS(x)和M=M(x)的曲线。作剪力图时,规定正剪力画在x轴上侧,负

5、剪力画在x轴下侧,并标上正负号;作弯矩图时由于工程上常把弯矩图画在梁受拉的一侧,所以规定正弯矩画在x轴下侧,负弯矩画在x轴上侧。作剪力图和弯矩图的方法主要有三种:一是通过剪力方程和弯矩方程作图,二是通过弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微分关系作图,三是利用叠加原理作图。3、弯矩、剪力与分布荷载集度之间的微积分关系及其应用设分布荷载集度q(x)是截面位置x的连续函数,且规定q(x)向上为正,向下为负,则有下列微分关系,,(7.1)通过式(7.1)可得下面三个结论:1)梁任一横截面上的剪力对x的一阶导数等于同一截面上分布荷载的集度,即剪力图上某点处的切线斜率等于梁上相对应点处的荷载

6、集度值。2)梁任一横截面上弯矩对x的一阶导数等于同一截面上的剪力,即弯矩图上某点处的切线斜率等于梁上相对应截面上的剪力值;3)梁任一横截面上弯矩对x的二阶导数等于同一截面上分布荷载的集度,即可以通过梁上该点处荷载集度q(x)符号来确定弯矩图的凸凹方向。图7-4由式(7.1)可得在x=a和x=b处两截面间的积分为(如图7-4所示),也可写成(7.2a)同理,可得(7.2b)以上是弯矩、剪力与分布荷载集度之间的积分关系,利用上述关系可得以下结论:图7-51)截面x=b的剪力等于截面x=b的剪力与两截面间的分布荷载图的面积之和。2)截面x=b的弯矩等于截面x=b的弯矩与两截面间的剪

7、力图的面积之和。另外,在集中荷载作用处剪力图和弯矩图还有如下特征:1)集中力作用处梁的两侧截面上剪力值有突变,突变值等于集中力的大小,剪力图上有突变,弯矩图是出现“尖点”。2)集中力偶作用处梁的两侧截面上弯矩值有突变,突变值等于集中力偶的大小,剪力图上无变化,弯矩图上有突变。这种突变现象发生的根本原因是由于集中荷载被假设作用在一个“点”上。实际上,集中荷载是作用在梁的一段微小的长度上,如图7-5所示。剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。根据以上所述的剪力和弯矩与荷载集度之间的微积分关系及结

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