极坐标与参数方程知识点与习题

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1、参数方程极坐标一、知识点：1．伸缩变换：设点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换的作用下，点对应到点，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点，叫做极点；自极点引一条射线叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。3．点的极坐标：设是平面内一点，极点与点的距离叫做点的极径，记为；以极轴为始边，射线为终边的叫做点的极角，记为。有序数对叫做点的极坐标，记为.极坐标与表示同一个点。极点的坐标为.4.若,则,规定点与点关于极点对称，即与表示同一

2、点。如果规定，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标表示；同时，极坐标表示的点也是唯一确定的。5．极坐标与直角坐标的互化：6。圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；在极坐标系中，以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是；7.在极坐标系中，表示以极点为起点的一条射线；表示过极点的一条直线.在极坐标系中，过点，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是.8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由这个方程所确定的点都在这条曲

3、线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。9．圆的参数方程可表示为.椭圆的参数方程可表示为.抛物线的参数方程可表示为.　经过点，倾斜角为的直线的参数方程可表示为（为参数）.10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.二、例题：题型一、参数方程与普通方程的互化例1、方程表示的曲线是（）A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆练习1、与普通方程等价的参数方程是（）（为能数）4题型二

4、、极坐标与直角坐标的互化例1、极坐标方程表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线例2、设点的极坐标为，直线过点且与极轴所成的角为，则直线的极坐标方程为．练习1、已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离是练习2、极坐标方程转化成直角坐标方程为（）A．B．C．D．练习3、点的直角坐标是，则点的极坐标为（）A．B．C．D．题型三、参数方程与直角坐标方程互化例题3：已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为．（1）将曲线的参数方程化为普通方程，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）曲线，是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交

5、，请说明理由．练习1、坐标系与参数方程.已知曲线C：为参数，0≤<2π)，（Ⅰ）将曲线化为普通方程；（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．题型四、利用参数方程求值域例题4、在曲线：上求一点，使它到直线：的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。4练习1、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．（Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.题型五、直线参数方程中的参数的几何意义例5、已知直线经过点,倾斜角，①写出直线的参数方程;②设与圆相交与两点，求

6、点到两点的距离之积.练习1、求直线（）被曲线所截的弦长.趁热打铁1．把方程化为以参数的参数方程是（）A．B．C．D．2．曲线与坐标轴的交点是（）A．B．C．D．3．直线被圆截得的弦长为（）A．B．C．D．4．若点在以点为焦点的抛物线上，则等于（）A．B．C．D．5．已知曲线上的两点对应的参数分别为，，那么=_______________。46．圆的参数方程为，则此圆的半径为_______________。7．下列在曲线上的点是（）A．B．C．D．8．将参数方程化为普通方程为（）A．B．C．D．9．直线被圆截得的弦长为______________10．在

7、椭圆上找一点，使这一点到直线的距离的最小值。11．求直线和直线的交点的坐标，及点与的距离。12．过点作倾斜角为的直线与曲线交于点，求的最小值及相应的的值13、在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的极坐标方程为.（Ⅰ）求直线的极坐标方程和圆的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.4