弦振动研究试验(教材)

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1、弦振动研究试验传统的教学实验多采用音叉计来研究弦的振动与外界条件的关系。采用柔性或半柔性的弦线，能用眼睛观察到弦线的振动情况，一般听不到与振动对应的声音。本实验在传统的弦振动实验的基础上增加了实验内容，由于采用了钢质弦线，所以能够听到振动产生的声音，从而可研究振动与声音的关系；不仅能做标准的弦振动实验，还能配合示波器进行驻波波形的观察和研究，因为在很多情况下，驻波波形并不是理想的正弦波，直接用眼睛观察是无法分辨的。结合示波器，更可深入研究弦线的非线性振动以及混沌现象。【实验目的】1.了解波在弦上的传播及弦波形成的条件。2.测量拉紧弦不同弦长的共振频率。3.测量弦线

2、的线密度。4.测量弦振动时波的传播速度。【实验原理】张紧的弦线4在驱动器3产生的交变磁场中受力。移动劈尖6改变弦长或改变驱动频率，当弦长是驻波半波长的整倍数时，弦线上便会形成驻波。仔细调整，可使弦线形成明显的驻波。此时我们认为驱动器所在处对应的弦为振源，振动向两边传播，在劈尖6处反射后又沿各自相反的方向传播，最终形成稳定的驻波。图1１１为了研究问题的方便，当弦线上最终形成稳定的驻波时，我们可以认为波动是从左端劈尖发出的，沿弦线朝右端劈尖方向传播，称为入射波，再由右端劈尖端反射沿弦线朝左端劈尖传播，称为反射波。入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，

3、在适当的条件下，弦线上就会形成驻波。这时，弦线上的波被分成几段形成波节和波腹。如图1所示。设图中的两列波是沿X轴相向方向传播的振幅相等、频率相同、振动方向一致的简谐波。向右传播的用细实线表示，向左传播的用细虚线表示，当传至弦线上相应点时，相位差为恒定时，它们就合成驻波用粗实线表示。由图1可见，两个波腹或波节间的距离都是等于半个波长，这可从波动方程推导出来。下面用简谐波表达式对驻波进行定量描述。设沿X轴正方向传播的波为入射波，沿X轴负方向传播的波为反射波，取它们振动相位始终相同的点作坐标原点“O”，且在X＝0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的波动方程分别

4、为：Y1＝Acos2p(ft－x/l)Y2＝Acos2p(ft＋x/l)式中A为简谐波的振幅，f为频率，l为波长，X为弦线上质点的坐标位置。两波叠加后的合成波为驻波，其方程为：Y1＋Y2＝2Acos2p（x/l）cos2pft······①由此可见，入射波与反射波合成后，弦上各点都在以同一频率作简谐振动，它们的振幅为｜2Acos2p(x/l)

5、，只与质点的位置X有关，与时间无关。由于波节处振幅为零，即｜cos2p(x/l)

6、＝02px/l＝(2k+1)p/2(k=0.1.2.3.······)可得波节的位置为：X＝（2K＋1）l/4······②而相邻两波节之间的

7、距离为：XK＋1－XK＝[2（K＋1）＋1]l/4－（2K＋1）l/4）＝l/2·····③１１又因为波腹处的质点振幅为最大，即｜cos2p(X/l)

8、=12pX/l＝Kp(K=0.1.2.3.······)可得波腹的位置为：X＝Kl/2＝2kl/4·····④这样相邻的波腹间的距离也是半个波长。因此，在驻波实验中，只要测得相邻两波节（或相邻两波腹）间的距离，就能确定该波的波长。在本实验中，由于弦的两端是固定的，故两端点为波节，所以，只有当均匀弦线的两个固定端之间的距离（弦长）L等于半波长的整数倍时，才能形成驻波，其数学表达式为：L＝nl/2(n=1.2.3.··

9、·)由此可得沿弦线传播的横波波长为：l＝2L/n······⑤式中n为弦线上驻波的段数，即半波数，L为弦长。根据波动理论，弦线横波的传播速度为：V＝(T/ρ)1/2······⑥即：式中T为弦线中张力，ρ为弦线单位长度的质量，即线密度。根据波速、频率与波长的普遍关系式V＝fl，和⑤式可得横波波速为：V＝2Lf/n······⑦如果已知张力和频率f，则由⑥⑦式可得线密度为：ρ=T(n/2Lf)2(n=1.2.3.······)······⑧如果已知线密度和频率f，则由⑧式可得张力为：T=ρ(2Lf/n)2(n=１１1.2.3.······)······⑨如果已知线密

10、度和张力，则由⑧式可得频率f为：······⑩　　以上的分析是根据经典物理学得到的，实际的弦振动的情况是复杂的。我们在实验中可以看到，接收波形很多时候并不是正弦波，或者带有变形，或者没有规律振动，或者带有不稳定性振动，这就要求我们引入更新的非线性科学的分析方法。可以参见有关的资料，例如参考文献１。【乐理分析】常见的音阶由7个基本的音组成，用唱名表示即：do，re，mi，fa，so，la，si，用7个音以及比它们高一个或几个八度的音、低一个或几个八度的音构成各种组合就成为各种乐器的“曲调”。每高一个八度的音的频率升高一倍。振动的强弱（能量的大小）体现为声音的大小，不

11、同物体的振