无界弦振动的研究

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1、无界弦振动的研究马玉荣摘要川行波法、积分变换法(傅里叶变换法、拉普拉斯变换法)、分离变量法、格林两数法求解无界弦的自山振动和受迫振动问题。计算和分析表明：对于无界弦的自山振动问题，行波法和傅里叶变换法比较简便，这是常用的求解方法。对于无界弦受迫振动问题，利用叠加原理应用行波法和齐次化原理求解最简便。行波法对于求解无界弦振动问题有其特姝的优点，即，行波法已求岀无界弦自由振动问题的达朗贝尔公式，无界弦受迫振动问题的公式，这些公式是通用的，只要把具体问题屮初始条件的两数带入计算即叮。关键词无界弦行波法傅里叶变换法拉普拉斯变换法分离变量法格林函数法一、引言物理上及工程技术上常需要研

2、究各种各样的振动问题，如弦的振动，杆的振动、膜的振动、体的振动等。弦的振动乂有无界弦⑷的振动、有界弦的振动。其屮，研究无界弦的振动问题受到了人们的重视。通过众多学者的努力，对无界弦振动问题的研究方法越来越多^爲比如在运用特征线方法的基础上利用线积分予以求解叫冇学者用分离变量法求解⑷，将分离变虽形式的解代入泛定方程求出泛定方程的特解，再将所有可能的特解线性组合为通解，最示将初始条件代入通解计算各项系数，最后得出定解。分离变量法本來适川于有界问题，作者这里川它求解无界问题，开拓了求解无界弦振动问题的新思路。还有用傅里叶变换法⑸、行波法⑹等求解无界弦振动问题。本篇文章将用行波法、

3、傅里叶变换法、拉普拉斯变换法、分离变量法、格林函数法求解无界弦的自由振动和受迫振动问题。通过比较，找出计算比较简便的方法和最佳方法，并尺运用Mat1ab软件模拟出无界弦自由振动的儿个图形，方便大家理解弦的口由振动。二、无界弦的振动问题无界弦的振动问题包括无界弦的口由振动和受迫振动。两种问题的方程分别为⑴和(II)它们都由泛定方程⑷和初始条件工构成。无界弦自由振动的泛定方程为⑴中的(1)式，受迫振动的泛定方程为(II)中的⑴式，两者的初始条件为(2)式和(3)式。其中血是弦的横向加速度；况心是弘关于X的二阶导，质点间的牵连体现在I仏上；Q是振动在弦上的传播速度，错误！未找到引

4、用源。是/时刻作用于兀处单位质量上的横向外力，错误！未找到引用源。是初始位移，色(尢0)是初始速度，错误!未找到引用源。和错误！未找到引用源。是任意函数，山具体题目给定。utt-a2u⑴w(x,0)二⑵色(兀,0)二二肖(兀)⑶血一。勺口=°(!)(I)

5、ult-a=0(1)

6、11rx^atu(x.t)=—[(p(x+at)+(p(x一at)]+——2laJ"由于大多数偏微分方程的通解难以求得，用定解条件定任意常数或函数也绝非易事，故行波法冇很人的局限性，但对于研究波动问题，冇其特殊优点。.1713/41例：现取初始位移^（%）=rinyx匸-x—石）,初始速度肖（兀）=o,山达朗贝尔公式得0（其余）u(x.t)=—[sin2171(兀+d/)+sin171（x-at）］.用mat1ab作出图像如图1：0»050.040.030.020.010-0.010.02-0.03004-0.0500.10.20.30.40.50.60.70.80.9图1

7、初位移不为0初速度为0的达朗贝尔公式的图形现取初始位移0（x）=O,初速度为鸭（x）=v1用matlab作图如下:0（其余）-10-80.80.60.40.20•0.204•0.6-0.8•20246810图2初位移为（），初速度不为0的达朗贝尔公式的图形我们把图2分解为图3和图4,图3为开始吋i//（x+at）的波形，图4为开始时-的波形。0.50.40.30.20.10-0.11086-4-2810图4(1)、傅里叶变换法⑴⑹Fourier变换法是积分变换法的一种。用积分变换法求解数理方程大体分为如下三步：①对