向量解答题选讲

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1、向量解答题选讲1、设，是两个垂直的单位向量，且，.若∥，求的值；（2）若⊥，求的值。解（1）∵∥∴=m即∴解得：m=-2，（2）∵⊥，∴·=0，即-2+=0∴2、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，A（—，1）、B（，1），S△ABC=（平方单位），动点P在曲线E（y≥1）上运动，若曲线E过点C且满足

2、PA

3、+

4、PB

5、的值为常数.（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设直线l的斜率为1，若直线l与曲线E有两个不同的交点P、Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程.解（Ⅰ）解：∵

6、AB

7、=2，S△ABC=

8、AC

9、·

10、AB

11、=，∴

12、AC

13、=1.但

14、BC

15、2=

16、AC

17、2+

18、AB

19、2，从而

20、BC

21、=3.

22、又

23、PA

24、+

25、PB

26、=

27、AC

28、+

29、BC

30、=4>2，∴P点在以A、B为焦点，半长轴为a=2，半焦距为c=,半短轴为b=的椭圆E（y≥1）上.∴曲线E的方程为………………6分（Ⅱ）设直线l：y=x+m,代入E的方程，消x,可得3y2-2(m+2)y+m2-2=0.令f(x)=3y2-2(m+2)y+m2-2.方程f(y)=0，有两个不小于1，且不相等的实根时，有解之，得.…………9分设PQ的中点为M（x,y），P、Q两点的坐标分别为P（x1,y1）,Q（x2,y2）,将m=3y-2代入y=x+m得y=即为M点的轨迹方程.………………………………12分3、设有向量，与的夹角为θ1，与的夹角

31、为θ2，且的值.解：………………4分……………………7分……10分因，从而……12分4、如图，已知Rt△PAB的直角顶点为B，点P（3，0），点B在y轴上，点A在x轴负半轴上，在BA的延长线上取一点C，使

32、AC

33、=2

34、AB

35、.（1）当点B在y轴上移动时，求动点C的轨迹C；（2）若直线l：与轨迹C交于M、N两点，设点D（－1，0），当∠MDN为锐角时，求k的取值范围.解（1）设，………2分，所求轨迹为抛物线（去掉原点）.………5分（2）设，由条件D（－1，0），为锐角，.又代入整理得…………8分由.……………………10分又综上有…12分5、已知，，且与之间满足关系：，其中k>0.（1）

36、用k表示·（2）求·的最小值，并求此时与夹角的大小.解：（1）∵两边平方，得∴………………………(3分)即：=∵，，∴，∴=………………………(6分)（2）∵k>0，∴，从而，，∴的最小值为，………………………(9分)此时，，即与夹角为………(12分)QlPF6、如图，定直线l是半径为3的定圆F的切线，P为平面上一动点，作PQ⊥l于Q，若

37、PQ

38、=2

39、PF

40、.（Ⅰ）点P在怎样的曲线上？并求出该曲线E的标准方程；（Ⅱ）过圆心F作直线交曲线E于A、B两点，若曲线E的中心为O，且，求点A、B的坐标.解：（Ⅰ）∵F为定点，l为定直线，∴由椭圆第二定义可知，P点在以F为左焦点，l为左准线的椭圆

41、上.……………2分依题意知……………………………………4分∴曲线E的标准方程为.………………………………………………5分（Ⅱ）设………………………………………………………………………8分又∵A、B都在椭圆上，∴……………………………………11分……………………12分7、已知向量①;②求函数的最小值.③若解：①………………2分………………6分②当且仅当取得最小值……12分③①当时，当县仅当时，取得最小值－1，这与已知矛盾；②当时，取得最小值，由已知得；③当时，取得最小值，由已知得解得，这与相矛盾，综上所述，为所求.…………12分8、抛物线方程，直线x+y=t与x轴的交点在抛物线准线的右

42、边.（1）求证：直线与抛物线总有2个交点；（1）设直线与抛物线交点为A、B，且OA⊥OB，求P关于t的函数f(t)的表达式（2）在（2）的条件下，若t变化，使得原点O到直线AB的距离不大于，求P的取值范围.解（1）证明：抛物线的准线(1分)由直线x+y=t与x轴的交点(t，0)在准线的右边得：即4t+p+4＞0（2分）由①∵p＞04t+p+4＞0∴△=（2t+p）2－4（t2－p）=p（4t+p+4）＞0（4分）故直线与抛物线总有2个交点（5分）（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的2个根，由根与系数关系得：（7分）∵OA⊥OB∴KOA·KOB=－1即

43、x1x2+y1y2=0（8分）又∵A、B在直线x+y=t上∴y1=t－x1y2=t－x2∴x1x2+y1y2=t2－（t+2）p=0由P＞0，及4t+p+4＞0得：（9分）f(t)的定义域为（－2，0）∪（0，+∞）（10分）（3）解：由已知得：由②知x＞－2且t≠0（11分）又（12分）令u=t+2∴则在[1、2上是减函数，在（2，3上是增函数从而或∴当当(13分)综上所述，P的取值范围是（14分）9、已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3）