椭圆复习课(学生版)

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1、圆锥曲线与方程复习课椭圆一．椭圆及其标准方程1．椭圆的定义：平面内与两定点F1，F2距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P

2、

3、PF1

4、+

5、PF2

6、=2a，2a＞

7、F1F2

8、=2c}；这里两个定点F1，F2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c。（时为线段，无轨迹）。2．标准方程：①焦点在x轴上：（a＞b＞0）；焦点F（±c，0）②焦点在y轴上：（a＞b＞0）；焦点F（0,±c）注意：①在两种标准方程中，总有a＞b＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：或者mx2+ny2=1二．椭圆的简单几何性质：1.范围（1）椭圆（a＞b＞0）横坐标

9、-a≤x≤a,纵坐标-b≤x≤b（2）椭圆（a＞b＞0）横坐标-b≤x≤b,纵坐标-a≤x≤a2.对称性椭圆关于x轴y轴都是对称的，这里，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心53.顶点（1）椭圆的顶点：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长等于2a，短轴长等于2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。4．离心率（1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比，即称为椭圆的离心率，记作e（），是圆；e越接近于0（e越小），椭圆就越接近于圆;e越接近于1（e越大），椭圆越扁；注意

10、：离心率的大小只与椭圆本身的形状有关，与其所处的位置无关。（2）椭圆的第二定义：平面内与一个定点（焦点）和一定直线（准线）的距离的比为常数e，（0＜e＜1）的点的轨迹为椭圆。①焦点在x轴上：（a＞b＞0）准线方程：②焦点在y轴上：（a＞b＞0）准线方程：小结一：基本元素（1）基本量：a、b、c、e、（共四个量），特征三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）55．椭圆的的内外部（1）点在椭圆的内部.（2）点在椭圆的外部.6.几何性质（1）最大角（2）最大距离，最小距离例题讲解：一.椭圆定义：１．方程化简的结果是2．若的两个顶点，的周长为，

11、则顶点的轨迹方程是二．利用标准方程确定参数1.若方程+=1（1）表示圆，则实数k的取值是.（2）表示x型椭圆，则实数k的取值范围是.（3）表示y型椭圆，则实数k的取值范围是.（4）表示椭圆，则实数k的取值范围是.2.椭圆的长轴长等于，短轴长等于,顶点坐标是,焦点的坐标是,焦距是，离心率等于,通径是__________.3．椭圆的焦距为，则=。4．椭圆的一个焦点是，那么。三．待定系数法求椭圆标准方程1．若椭圆经过点，，则该椭圆的标准方程为。2．焦点在坐标轴上，且，的椭圆的标准方程为3．焦点在轴上，，椭圆的标准方程为54.已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0），求以、为焦

12、点且过点P的椭圆的标准方程；变式：求与椭圆共焦点，且过点的椭圆方程。四．焦点三角形1．椭圆的焦点为、，是椭圆过焦点的弦，则的周长是。2．设，为椭圆的焦点，为椭圆上的任一点，则的周长是多少？的面积的最大值是多少？3．设点是椭圆上的一点，是焦点，若是直角，则的面积为。变式：已知椭圆，焦点为、，是椭圆上一点．　若，求的面积．五．离心率的有关问题1.椭圆的离心率为，则2.从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为，则此椭圆的离心率为3．椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4.设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为

13、等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5.在中，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．直线与椭圆：51.椭圆上的点到直线l:的距离的最小值为___________．2．已知是椭圆的左右焦点，过斜率为2的直线交椭圆于A,B两点，求（1），、面积（2）求线段AB中点M的坐标3．已知椭圆，过点作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程。解：（法一）当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为，，则，消去得，∴，又∵为弦的中点，∴，即，∴，从而直线方程为．（法二）点差法：当直线斜率不存在时，点不可能上弦的中点，故可设直线方程为，它与椭圆的交点分别为

14、，，则，得：，∵为中点，∴，，∴，即，所以，直线方程为．5