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1、2.5从力做的功到向量的数量积史光明一、教学目标：1.知识与技能（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系.（3）掌握平面向量数量积的运算律和它的一些简单应用.（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2.过程与方法教材利用同学们熟悉的物理知识（“做功”）得到向量的数量积的含义及其物理意义、几何意义.为了帮助学生理解和巩固相应的知识，教材设置了4个例题；通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力.3.情感态度价值观通过本节内容的学习，使同学
2、们认识到向量的数量积与物理学的做功有着非常紧密的联系；让学生进一步领悟数形结合的思想；同时以较熟悉的物理背景去理解向量的数量积，有助于激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.二.教学重、难点重点:向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；运算律.难点:运算律的理解三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习+探究式学习法：OaAcbab(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【探究新知】（学生阅读教材P107—108，师生共同讨论）思考：请同学们回忆物理学中做功的含义
3、，问对qsF一般的向量a和b，如何定义这种运算？1.力做的功：W=
4、F
5、•
6、s
7、cosqq是F与s的夹角2.定义：平面向量数量积（内积）的定义，a•b=
8、a
9、
10、b
11、cosq，并规定0与任何向量的数量积为0。×3.向量夹角的概念：范围0°≤q≤180°q=0°q=180°qqqqOOOOOOAAAAAABBBBBBCC[展示投影]由于两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别；因此强调注意的几个问题：①两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定。②两个向量的数量积称为内积，写成a•b；今后要学到两个向量的外积a×b，而ab是
12、两个数量的积，书写时要严格区分。③在实数中，若a¹0，且a•b=0，则b=0；但是在数量积中，若a¹0，且a•b=0，不能推出b=0。因为其中cosq有可能为0.这就得性质2.④已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是a•b=b•cÞa=c如右图：a•b=
13、a
14、
15、b
16、cosb=
17、b
18、
19、OA
20、b•c=
21、b
22、
23、c
24、cosa=
25、b
26、
27、OA
28、Þa•b=b•c但a¹c⑤在实数中，有(a•b)c=a(b•c)，但是(a•b)c¹a(b•c)显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.[展示投影]思考与交
29、流：思考与交流1.射影的概念是如何定义的，举例（或画图）说明；并指出应注意哪些问题.AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq定义：
30、b
31、cosq叫做向量b在a方向上的射影。注意：①射影也是一个数量，不是向量。②当q为锐角时射影为正值；当q为钝角时射影为负值；当q为直角时射影为0；当q=0°时射影为
32、b
33、；当q=180°时射影为-
34、b
35、.思考与交流2.如何定义向量数量积的几何意义？由向量数量积的几何意义你能得到两个向量的数量积哪些的性质（学生讨论完成，教师作必要的补充）.几何意义：数量积a•b等于a的长度与b在a方
36、向上投影
37、b
38、cosq的乘积。性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。①e•a=a•e=
39、a
40、cosq②a^bÛa•b=0③当a与b同向时，a•b=
41、a
42、
43、b
44、；当a与b反向时，a•b=-
45、a
46、
47、b
48、。特别的a•a=
49、a
50、2或④cosq=（
51、a
52、
53、b
54、≠0）⑤
55、a×b
56、≤
57、a
58、
59、b
60、【巩固深化，发展思维】判断下列各题正确与否：①若a=0，则对任一向量b，有a•b=0.(√)②若a¹0，则对任一非零向量b，有a•b¹0.(×)③若a¹0，a•b=0，则b=0.(×)④若a•b=0，则a、b至少有一个为零.(×)⑤若a¹0，a•b=
61、a•c，则b=c.(×)⑥若a•b=a•c，则b=c当且仅当a¹0时成立.(×)⑦对任意向量a、b、c，有(a•b)•c¹a•(b•c).(×)⑧对任意向量a，有a2=
62、a
63、2.(√)[展示投影]思考与交流：思考：根据向量数量积的定义、物理意义及几何意义，你能否验证下列向量的数量积是否满足下列运算定律（证明的过程可根据学生的实际水平决定）1.交换律：a•b=b•a证：设a，b夹角为q，则a•b=
64、a
65、
66、b
67、cosq，b•a=
68、b
69、
70、a
71、cosq∴a•b=b•a2.数乘结合律：(a)•b=(a•b)=a•(b)证：若=0，此式显然成立.若>0，
72、(a)•b=
73、a
74、
75、b
76、cosq，(a•b)=
77、a
78、
79、b
80、cosq，a•(b)=
81、a
82、
83、b
84、cosq，所以(a)•b=(a•b)=a•(b).若<0，(a)•b=
85、
