《回归i分析》PPT课件

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1、第二节一元线性回归一、一元线性回归的数学模型二、未知参数a，b,σ2的点估计三、线性相关假设检验一、一元线性回归的数学模型回归关系：前一节介绍了两个变量间的相关关系，若这两个变量中一个是可控变量，另一个是随机变量，则称这两个变量之间的相关关系为回归关系。回归函数：当可控变量X和随机变量Y之间存在回归关系时，Y的数学期望E(Y)是可控变量X的取值x的函数，记为μ(x)，即E(Y)=μ(x)，称μ(x)为回归函数。回归分析就是根据试验结果，研究可控变量与随机变量之间的相关关系，建立变量间关系的近似表达式，并由此对随机变量进行预测和控制。一元线性回归的数学模型的两

2、个前提：1）线性相关假设：2）随机变量Y服从正态分布，即：这里σ2是与x无关的未知参数。可控变量X的取值x无关的未知参数。设随机变量称其为随机误差.则设μ(x)=a+bx，这里a，b是与一元线性回归的数学模型：线性回归的任务：其中a，b，σ2是与x无关的未知参数。x是可控变量X的取值.根据试验的观测值求出a，b，σ2的估计量：从而对于任何x，得回归函数的估计量：（称其为随机变量Y倚变量X的线性回归方程，其直线称为回归直线），从而为进一步的预测和控制提供依据。二、未知参数a，b和σ2的点估计1.未知参数a，b的最小二乘估计根据偏差的平方和为最小来选择待估参数的

3、方法称为最小二乘法，由此方法得到的估计量称为最小二乘估计.最小二乘法：即：就一元线性回归的数学模型：对于样本观察值：求使得二元函数最小的a，b的估计量未知参数a，b的最小二乘估计为此，令即：用克莱姆法则解此二元线性方程组，得a，b的最小二乘估计：可以证明：从而得回归方程：1)也是a，b的极大似然估计.2)是y1,y2,…,yn的线性函数.3)是a，b的无偏估计，且是a，b的一切线性无偏估计量中方差最小的估计量.回归直线的两个重要特征：1）yi偏离回归值的总和为零，即2）平面上n个点落在回归直线上。即的几何中心由a，b的最小二乘估计的推导过程可得：称为观察值y

4、i的回归值(i=1,2,…,n)。例1.记录市场上某种商品的价格x与实际供给量y之间的一组数据如下：x91261091078126118y767652565777585567537264试求该商品的供给量y倚价格x的回归方程。解：2.未知参数σ2的估计首先给出残差平方和（剩余平方和）和回归平方和的概念.残差平方和：(剩余平方和)回归平方和:于是即所以可以证明：残差平方和的计算方法总成立定理（平方和分解公式）：对容量为n的样本即：证明：由可得：又所以由此可得：即：总偏差平方和=残差平方和+回归平方和例2.为研究一游泳池池水经化学处理后，水中氯气的残留量y（pp

5、m）与经历的时间x（自处理结束时算起，以h计）的关系，测得以下数据：时间x24681012含氯量y1.81.51.41.11.10.9（1）试求出y倚x的回归方程；（2）估计方差σ2.解：(2)未知参数σ2的估计三、线性相关假设检验线性回归分析假定变量x和y是线性相关的，即回归函数μ(x)具有形式a+bx。因此，在实际应用中，计算得到的回归方程是否具有实际意义，取决于线性相关假设是否符合实际。所以，应根据观察值，运用假设检验的方法，判断变量x和y之间是否确实存在线性相关关系，即检验系数b是否为零。若b=0，则μ(x)不依赖于x，即变量x和y不线性相关，而线性

6、相关关系成立时，b不应为零。由此提出原假设备择假设为取得检验统计量，先介绍以下定理：定理：在一元线性回归的数学模型下，1）b的最小二乘估计相互独立由此得：从而得到对H0的检验的两种方法：T检验法和F检验法。1.T检验法：备择假设（2）取检验统计量（3）则拒绝域为（1）提出原假设2.F检验法：备择假设（1）提出原假设（2）取检验统计量（3）则拒绝域为例3.某地区第1年到第6年的用电量y（单位：亿度）与年次x的统计数据如下：年次x123456用电量y10.411.413.114.214.815.7试求y倚x的回归方程。并在α=0.01下用T检验法检验y与x之间是

7、否存在显著的线性相关关系.解：(2)先求未知参数σ2的估计提出原假设备择假设检验统计量拒绝域为α=0.01，所以拒绝H0，因为认为y与x之间存在显著的线性相关关系.例4.对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查，得产量x(万件)和生产费用y(万元)的数据如下：产量x1.5234.57.59.110.512生产费用y5.66.67.27.810.110.813.516.5试求y倚x的回归方程。并在α=0.01下用F检验法检验y与x之间是否存在显著的线性相关关系.解：(2)提出原假设备择假设检验统计量拒绝域为所以拒绝H0，因为认为y与x之间存

8、在显著的线性相关关系.