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1、2.2等差数列第二章数列第一课时学习目标:等差数列的定义;等差数列的通项公式及应用解题;1.按一定顺序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an}。一、数列的定义:二、数列的通项公式及其递推公式:2.如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。3.如果已知数列{an}的第1项(或前几项),且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式。www.jkzyw.com复习某系统抽样所抽取的样本号分别是:7,19,31,43,55,67,79,91,
2、103,115.某长跑运动员7天里每天的训练量(单位:m)是:7500,8000,8500,9000,9500,10000,10500(观察以下数列)引入这三个数列有何共同特征从第2项起,每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义交流1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与其前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。指出定义中的关键词:从第2项起等于同一个常数每一项与其前一项的差探究题型一:等差数列的通项及图象特征解析:思考结论:是不是不是练习一判断下列各组数列中哪些是等差
3、数列,哪些不是?如果是,写出首项a1和公差d,如果不是,说明理由。(1)1,3,5,7,…(2)9,6,3,0,-3…(3)-8,-6,-4,-2,0,…(4)3,3,3,3,…(6)15,12,10,8,6,…思考:在数列(1),a100=?我们该如何求解呢?是是是a1=1,d=2a1=9,d=-3a1=-8,d=2a1=3,d=02、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一:不完全归纳法2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二累加法例题1练习二例2⑴求等差数列8,5,2,…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项?如果是,是第几项?解:⑴由a1=8,d
4、=5-8=-3,n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.⑵由a1=-5,d=-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式为an=-5-4(n-1).由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项.题型二:通项公式的应用(1)求等差数列3,7,11…的第4项与第10项;(2)判断102是不是等差数列2,9,16,…的项?如果是,是第几项,如果不是,说明理由。结论:判断某个数是否为等差数列中的项时,让这个数等于等差数列的通项公式,看是否可以解出正整数n,若可以解除正整数n,即就是等差数列中的项。反之亦然。例3在等差数列
5、{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组,解之得:解:由题意得:a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2,公差d=3.解析:由等差数列的通项公式得练习四:已知等差数列{an}中,a4=10,a7=1求a1和d.小结:已知数列中任意两项,可求出首项和公差,主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗?思考:已知等差数列{an}中,a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得:a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是:an=11-(n-1)=12-
6、n故a12=0,a3n=12–3n.解法二:3.等差中项如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.由等差中项的定义可知,a,A,b满足关系:意义:任意两个数都有等差中项,并且这个等差中项是唯一的.当a=b时,A=a=b.题型三:等差中项的应用小结等差数列的定义;等差数列通项公式的推导及其应用;课本P40(A)1、3、(B)2作业2.2等差数列第二章数列第二课时2、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项复习通项公式的证明及推广例4性质:设若则题型4:等差数列的性质例8(1)已知等差数列{an}中,a3+a15=30,求a9,a7+a11解:(1)∵a9是a3和a
7、15的等差中项∴(2)已知等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=150,求a2+a8的值∵7+11=3+15(2)∵3+7=4+6=5+5∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=150即a5=30故a2+a8=2a5=60∴a7+a11=a3+a15=30∴a3+a7=a4+a6=2a5(1)等差数列{an}中,a3+a9+a15+a21=8,则a12=(2)已知等差数列{an}中,a3和a15是方程x2-6x-1=0的