2.1.2求曲线的方程

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1、§12.1求曲线的方程复习1.什么是曲线的方程和方程的曲线.答:一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程F(x，y)=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线C上的点的坐标都是方程F(x，y)=0的解,（2）以方程F(x，y)=0的解为坐标的点都是曲线C上的点，那么方程F(x，y)=0叫做曲线C的方程；曲线C叫做方程F(x，y)=0的曲线（图形）。复　习2．坐标法和解析几何的本质、基本问题．坐标法——对于一个几何问题，在建立直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法。解析几何的本质——用代数的

2、方法来研究几何问题。解析几何的两大基本问题——（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程。（由曲线来求出方程）（2）通过方程，研究平面曲线的性质。（由方程来研究曲线）如何根据已知条件，求出曲线的方程．问　题：【例题引路】例１、如图，已知两定点P（-1，0）和Q（3，0），求到点P和Q的距离的平方和是16的点的轨迹方程.解:设M(x,y)为所求轨迹上的任意一点，则有由两点间的距离公式，得化简，得（1）由上述推导过程可知，所求的轨迹上的任意一点的坐标都满足方程（1）。1PQMO求曲线方程的基本步骤:1.建立适当的直角坐标系，并用坐标表示点；2.设出曲线上任意一点M的坐标；3.写出限制条件p的

3、点M的集合P={M/p(M)}；4.把坐标代入条件p(M),列出方程f(x,y)=05.化方程f(x,y)=0为最简形式；6.说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上。上述五个步骤可简记为：1、建；2、设；(3、限；)4、代；5、化．.B例2、动点M与距离为2a的两个定点A，B的连线的斜率之积等于-1/2，求动点M的轨迹方程。..AM解:如图,以直线AB为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系，则A(-a,0),B(a,0)。设M(x,y)是轨迹上的任意一点，则由上可知，动点M的轨迹上的任一点的坐标都满足方程（1）；容易证明，以方程（1）的解为坐标的点都在轨迹上。所以，方

4、程（1）就是动点M的轨迹方程。建立坐标系的一般规律:1、若有两条垂直的直线，则以该二直线为坐标轴；2、若有对称图形，则以对称图形的对称轴为坐标轴，对称中心为坐标原点；3、若有已知长度的线段，则以线段所在直线为坐标轴，线段的端点或中点为坐标原点。4、让尽量多的已知点在所建的坐标轴上。练习2.求到F(2，0)和Y轴的距离相等的动点的轨迹方程.3.在三角形ABC中,若

5、BC

6、=4,BC边上的中线AD的长为3,求点A的轨迹方程.y2=4(x-1)x2+y2=9(y≠0)1.已知定点A(0，-1)，动点P在曲线y=2x2+1上移动，则线段AP的中点的轨迹方程是:___1.到F(2，0)和Y轴的距离

7、相等的动点的轨迹方程是:__________________解:设动点为(x，y)，则由题设得化简得:y2=4(x-1)这就是所求的轨迹方程.2.在三角形ABC中，若

8、BC

9、=4，BC边上的中线AD的长为3，求点A的轨迹方程.设A(x，y)，又D(0，0)，所以化简得:x2+y2=9(y≠0)解:取B、C所在直线为X轴，线段BC的中垂线为Y轴，建立直角坐标系。这就是所求的轨迹方程.小结1、明确解析几何中的两大基本问题;2、熟练掌握求曲线方程的基本步骤;反思在求轨迹方程的问题中，如果化简方程的过程是同解变形.则由此所得的最简方程就是所求曲线的方程;如果化简过程不是同解变形，所求得的方程就

10、不一定是所求曲线的方程.此时，应该通过调整x，y的取值范围来去伪(去伪存真)或补缺(查漏补缺)，使得化简前后的方程保持等价.三角形ABC中，a>b，且c=(a+b)/2，若顶点A(-1，0)，B(1，0)，求顶点C的轨迹方程.练习2归纳:本题具有隐含条件:x<0，y≠0.解题中容易漏掉.为此应注意以下几点:①防止忽略动点应满足的某些隐含条件;②防止方程的不同解变形引起的增根或失根;③图形可以有不同的位置，应分类讨论;④字母系数可取不同值，一定要讨论.