回归方程的讲义

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1、高中数学必修3第二章第2.3节变量间的关系内容——解读全国高考与四川卷的差异2016级备课组王述芳2017年12月1日一教材解读：本节知识是必修内容，在2016年以前的四川高考卷中均未涉及到，但是全国试卷却要求很高，另一方面，由于该节涉及高等数学的统计知识和二元函数的极值的求法，不少教师对此知识比较陌生，另一方面，线性回归方程的推导以及公式的结论形式比较复杂，要记忆起来比较艰难，故本文从以下几个方面进行阐述。1生活生产实践中一个变量往往随多个变量的变化而变化，但是可以选定其中主要受到影响的变量来研究，所以我们中学仅仅学习两个变

2、量间的相互关系来研究。2研究方法：通过统计大量的数据、通过调查、有时通过实验来发现规律，分析两个变量间的相互关系。3研究的有效途径：作散点图。用散点图中点的走势来说明两个变量有关系，并对数据表进行支持，而且能直观的看出是正相关还是负相关。4研究的理论支持：高等数学的二元函数的最值（或极值）求法，即拉格朗日定理作支撑。举例：二元函数的极值（最值）求法。第一步求偏导数和8第二步解方程组得第三步得结论：的极值（最值）就是可以用初等函数的换元方法令换成一元函数求函数的最小值的最小值试一试,也可以看成是以未自变量的函数作参数，求函数的最

3、小值的最小值试一试。5如何用“最小二乘法”原则求回归方程：最可靠的方法是刻画每个散点到回归直线的距离之和最小即求的最小值。当L的值最小时与的值就可以确定，与的值一旦确定，回归直线方程的斜率和纵截距就近似的用和来估计确定，回归直线方程就确定。但实际中计算绝对值困难，为方便计算和减少误差，习惯用求当最小值时与的值来求回归方程。6下面就利用二元函数的最值的求法来推导线性回归方程：记，其中是两个自变量准备公式：第一步求偏导数（注明：这里是完全平方对变量求导数）①②8第二步解方程组由①得把准备公式代入得化简得由②得代入准备公式由再把上面

4、求出的代入该式有移项得第三步得结论：的极值（最值）时的值按公式计算第四步写出线性回归方程。得线性回归方程7例题分析有一个同学开了一家小卖部，他为了研究气温对热饮料的销售影响，经过统计得到一个卖出的热饮料杯数与当天气温的对比表：8摄氏温度/0C-504712151923273136热饮料杯数15615013212813011610489937654（1）画出散点图；（2）从散点图中发现气温与热饮料销售杯数之间的关系的规律（3）求回归方程；（4）如果某天的气温是20C，预测这天卖出的热饮料杯数。解析：（2）从图中可以看出各点分布在

5、从左上角到右下角的区域里，因此气温与热饮料的销售成负相关，即气温越高，卖出去的热饮料杯数越少。（3）计算：814778；故线性回归方程为。（1）当时，因此某天的气温为20C时，这天大约卖143杯热饮料。二研究2015年普通高考高等学校招生考试全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）理科数学第19题某个公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费（单位：元）对年销售量（单位：）和年利润（单位：千元）的影响，对进8年的年宣传费和年销售量的数据作了初步的处理，得到了下面的散点图及统计量的值。8888