吴健--函数综合

《吴健--函数综合》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2012年暑期高中数学夏令营讲义吴健1.二次函数一、基础知识1．二次函数：当0时，f(x)=ax2+bx+c称为关于x的二次函数，其对称轴为直线x=-，另外配方可得f(x)=a(x-x0)2+f(x0)，其中x0=-，下同.2．二次函数的性质：当a>0时，f(x)的图象开口向上，在区间（-∞，x0]上随自变量x增大函数值减小（简称递减），在[x0,-∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）.当a<0时，情况相反.3．当a>0时，方程f(x)=0即ax2+bx+c=0…①和不等式ax2+bx+c>0…②及ax2+bx+c<0…③与函数f(x)的关系如

2、下（记△=b2-4ac）.1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设x1,x2(x1

3、xx2}和{x

4、x1

5、x}和空集，f(x)的图象与x轴有唯一公共点.3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和.f(x)图象与x轴无公共点.当a<0时，请自己分析.4．二次函数的最值：若a>

6、0，当x=x0时，f(x)取最小值f(x0)=,若a<0，则当x=x0=时，f(x)取最大值f(x0)=.对于给定区间[m,n]上的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)，当x0∈[m,n]时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(x0);当x0n时，f(x)在[m,n]上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）.二、方法与例题例1若函数在区间上的最大值为，最小值为，求.例2.设函数（）。对于给定的负数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式都成立。问为何值时最大？求出这

7、个最大的。例3.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)，若方程f(x)=x无实根，求证：方程f(f(x))=x也无实根.8例4设为实数，函数.学科网(1)若，求的取值范围；学科网(2)求的最小值；学科网(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.学例5．已知f(x)=ax2+bx+c在[0，1]上满足

8、f(x)

9、≤1,试求

10、a

11、+

12、b

13、+

14、c

15、的最大值.例6设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a0)满足下列条件：1）当x∈R时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x；2）当x∈(0,2)时，

16、f(x)≤;3）f(x)在R上最小值为0.求最大的m(m>1)，使得存在t∈R，只要x∈[1,m]就有f(x+t)≤x.三、练习题1.设实数a、b、c满足a2－bc－8a＋7＝0…………①b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②求a的取值范围.2.对一切x∈R，f(x)=ax2+bx+c(a

17、x

18、≤1时，

19、f(x)

20、≤1,(1)求证：

21、c

22、≤1;(2)求证：当

23、x

24、≤1时，

25、g(x)

26、

27、≤2;(3)当a>0且

28、x

29、≤1时，g(x)最大值为2，求f(x).5.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，f(x)＝0有实数根，且f(x)＝1在(0，1)内有两个实数根，求证：a＞4.6．设实数、、、满足条件：，且，．求证：方程有一根满足．82.函数的性质一、基础知识1.单调性：设函数f(x)在区间I上满足对任意的x1,x2∈I并且x1f(x2))，则称f(x)在区间I上是增（减）函数，区间I称为单调增（减）区间.2.奇偶性：设函数y=f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任

30、意的x∈D，都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(-x)=f(x)，则称f(x)是偶函数.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.3．周期性：对于函数f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x)的最小正周期.4．函数的图象，点集{(x,y)

31、y=f(x),x∈D}称为函数y=f(x)的图象，其中D为f(x)的定义域.通过画图不难得出函数y=f(x

32、)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0)；（1）向右平移a个单位得到y=f(x-a)的图象；（2）向左平移a个单位得