吴华平--函数综合

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1、函数一、函数与映射1、满足条件：对任意,都有且的函数有_________个。2、已知定义域为的函数满足，记集合，求证：是一个无限集合。3、已知函数的定义域是，并满足，求的表达式。4、求证：不存在这样的函数，满足对任意的整数，，若，则.5、已知函数的定义域为正整数集，值域为非负整数集，且满足，（1）、求的值；（2）、能否求出的值（其中是小于3000的正整数）？二、函数性质1、方程的解集为A(其中π为无理数，π=3.141…，x为实数)，则A中所有元素的平方和等于_________。2、若方程仅有一个实根，那么的取值范围是．3、已知、是关于的二次方程的两个根，且＜，若函数，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ

2、）对任意的正数、，求证：＜2．74、设定义在[0，2]上的函数满足下列条件：①对于，总有，且，；②对于，若，则．证明：（1）（）；（2）时，．5、函数定义在整数集上，且满足，求的值.三、函数最值与范围1、函数的值域为___________．2、求函数的最大值.3、函数的值域是___________。4、求函数的最大和最小值.5、已知（，）是常数，且，，，是区间内任意实数，则函数的最大值等于_________________.6、实数a，b，c和正数λ使得f(x)=x3＋ax2＋bx＋c有三个实根x1，x2，x3，且满足⑴x2－x1=λ；⑵x3>(x1＋x2)．求的最大值．7、设，且，求乘

3、积的最大值和最小值。78、设，对任意的，记，试求的最小值.9、设，且设，求的最大值。10、将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝xixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.四、函数与方程1、设，，已知，那么___________2、方程的不同非零整数解的个数为。3、解不等式4、解方程组。（在实数范围内）5、设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，则γ－α＝6、求方程的所

4、有实数解。77、已知为正奇数，求方程的实数解。8、求方程的所有实数解。9、求证：方程在内至少有一个实根。五、函数迭代与函数方程1、若函数且，则．2、已知函数在定义域上是单调增函数，且满足，则=_________.3、求所有的函数，使得对任意的，都有。4、求所有的函数，使得对任意的，都有。5、设，满足条件：（1）、；（2）、；（3）、当时，，求满足条件的函数。6、设，求。六、函数不动点解题应用1、对于函数,若,则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即}，.(1).求证：AB(2).若，且，求实数a的取值范围.72、设是取正整数

5、值的严格递增数列。已知，当互质时，，求证：3、设是所有大于-1的实数集合，确定所有的函数，使得满足下面两个条件：（1）、对于内所有和，有；（2）、在区间和内，是严格递增的。七、构造法1、设是绝对值小于1的实数，求证：2、求值3、已知为正数且求表达式的最小值．4、求值域：5、已知函数的最小值为，求的最大值。6、设，若个正数位于之间，个正数位于之间，求证：7、不等式的解集为_________.7八、训练1、设a（0＜a＜1）是给定的常数，是上的奇函数，且在上递减。若，那么的变化范围是________2、设函数满足，且对任意的，都有，则=___________.3、已知函数是定义在上的函数，，

6、且对任意的都有，，若，则=________.4、方程的实数解的个数为________。5、方程的所有正整数解为。6、在Rt△中，分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则的取值范围是__________________．7、设，则的最小值为___________。8、函数的最小值为__________________.9、函数对任意的满足，且，则＝__________.10、若均为正实数，且，则的最小值为．11、函数的最大值与最小值的乘积是__________.12、.13、若是边长为的正三角形的边上的点，与的内切圆半径分别为，若，则满足条件的点有两个，分别设为，则之间的距离为。714、是

7、否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．15、求函数的最小值，其中。16、已知不等式对于恒成立，求a的取值范围。17、求实数的取值范围，使得对任意的实数和任意，恒有。18、设为正数，记为中的最小数.（1）求证：存在，使得；（*）（2）求出使不等式（*）成立的最小正数；并给予证明.19、已知函数在区间上的最小值为，令，，求证：20、求函数，使对全部实数均满足。7