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1、化学中的群论内容：第一章群的基础知识第二章分子的对称性与对称性操作第三章群的表示第四章群在化学研究中的应用实例参考书《群论在化学中的应用》[美]F.A.科顿科学出版社《群论与分子对称性》誉文德华南工学院出版社《群论及其在物理和化学中的应用》方可重庆大学出版社《物理学中的群论》马中骐科学出版社我们周围到处都有对称性的存在，一般人们认为有对称性的东西是美的。群论在量子化学和光谱学的研究中也是最有力的数学工具之一，它帮助人们预测、解释、简化复杂的理论和数据。抽象群的数学理论是近世代数学和有关对称性一般研
2、究结果。群论是数学中的一门学科，但同时被应用到许多科学领域。例如：点论在化学中用来描述分子的对称性,洛伦兹群是相对论的核心部分，空间群在晶体物理的研究中起到关键的作用。第一章群的基础知识1.1群的定义和性质在规定了元素的“乘积”法则后，元素的集合G如果满足下面四个条件，则称为群。1.集合对乘积的封闭性.集合中任意两元素的乘积仍属此集合。即2.乘积满足结合律3.集合中存在恒元E（单位元），用它左乘集合中的任意元素，保持该元素不变，即4.任何元素R的逆元R-1存在于集合中，满足一、定义二、群的一些基本
3、概念有限群的阶：群中元素的个数称为有限群的阶。Abel群：群中任意两元素的积一般不对易。即RS≠SR若RS=SR，则此群叫Abel群。循环群：若群G={E=Rn,R,R2,……,Rn-1},则它是一个n阶循环群，记作Cn。R称为G的生成元。例：在二维平面上绕原点顺时针连续旋转π/3的操作构成的群G={E=R3(π/3),R(π/3),R2(π/3)}就是C3群。因为群中任意元素有如下形式：…Rk,Rl…RkRl=RlRk,k,l≤n,所以循环群是Abel群。但逆命题不成立。元素的阶：有限群的任一元
4、素自乘若干次后，必可得到恒元。若Rn=E，称n为元素R的阶。三、群的例子1.所有有理数的集合对于普通数的加法构成无限加法Abel群。单位元：0n的逆元：-n加法满足封闭性和结合率4.所有n维空间Rn中的向量X=（x1,x2,…,xn)的集合对于向量的加法构成群。恒元：零向量逆元：a=(a1,a2,…an)↔-a=(-a1,-a2,…,-an)封闭性：满足结合律：满足2.除零外的所有实数的集合对于普通数的乘法构成无限乘法Abel群。单位元：1n的逆元：1/n乘法满足封闭性和结合率3.{立定，向左转，
5、向后转，向右转}对于连续动作构成四阶群。单位元：立定逆元：立定↔立定向左转↔向右转向后转↔向后转封闭性：满足结合律：满足四、群表和重排定理1.群乘法表↑↓←→↑↑↓←→↓↓↑→←←←→↓↑→→←↑↓1-1i-i11-1i-i-1-11-iiii-i-11-i-ii1-11,-1,i,-i对于数的乘法构成群{立定（↑），向左转（←），向后转（↓），向右转（↓）}从此群表中可以看出，{↑，↓}和{1，-1}各自形成子群。上面两个群都是Abel群，群元素在表中相对于主对角线是对称的。对于有限群，群元素数
6、目有限，我们有可能把元素的乘积全部排列出来，构成一个表称为群的乘法表，简称群表。Abel群的乘法表：群元素在表中相对于主对角线是对称的。循环群的乘法表：当表中元素按生成元的幂次排列时，表的每一行都可由前一行向左移动一格得到，而最左面的元素移到最右面去。例G={E=R4,R,R2,R3},R1~4分别表示在一平面内绕一点顺时针旋转π/4~π的操作。其乘法表如下ERR2R3EERR2R3RRR2R3ER2R2R3ERR3R3ERR22.群表定理（重排定理）一个群的所有元素，在群表的每一行（或一列）都要
7、出现，而且只出现一次，只是次序不同。例：写出正三角形对称群D3的乘法表，并判断是否Abel群。对称元素：A—三角形绕OA轴转动π角B—三角形绕OB轴转动π角C—三角形绕OC轴转动π角D—绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转2π/3F—绕过O点垂直于三角形面的轴顺时针旋转4π/3E—不动ACBOACBOEDFABCAACBACBBBACCBACCBABACEDFABCEEDFABCDDFEBCAFFEDCABAACBEFDBBACDEFCCBAFDE正三角形的对称变换正三角形对称变换群D3的乘法表习
8、题1.举例说明一阶群、二阶群、三阶群、四阶群。2.G是由a、b、c三个元素所构成的集合，它们的乘法表如下，判断G是否构成群？abcaabcbbcaccab3.证明下列四个方阵A、B、C、D对于矩阵的乘法构成一个群V：写出V的乘法表。V是否循环群？V是否Abel群？1.2子群一、定义群G的子集H，如果按照原来的元素乘积规则，也满足群的四个条件，则称为群G的子群。例：在整数群加法群Z中，整数n的一切倍数所构成的集合对于数的加法显然构成一个群，因此它是Z的子群。二、判断1.判别有限群的子
