不等式放缩技巧十法

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1、.第六章不等式第二节不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题:不等式的放缩技巧。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一利用重要不等式放缩1.均值不等式法

2、例1设求证解析此数列的通项为，，即注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式，若放成则得，就放过“度”了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里其中，等的各式及其变式公式均可供选用。例2已知函数，若，且在[0，1]上的最小值为，求证：..[简析]例3求证.简析不等式左边==，故原结论成立.【例4】已知，，求证：≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为，所以有其实，上述证明完全可以改述成求的最大值。本题还可以推广为：若，，试求的最大值。请分析下述求法：因为，所以有故的最大值为，且此时

3、有。上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是..，即必须有，即只有p=q时才成立！那么，呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：则有于是，，当且仅当结合其结构特征，还可构造向量求解：设，则由立刻得解：且取“＝”的充要条件是：。特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已!2．利用有用结论例5求证简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质可得即法2利用贝努利不等式的一个特例..(此处)得注：例5是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”

4、而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是：证明(可考虑用贝努利不等式的特例)例6已知函数求证：对任意且恒成立。[简析]本题可用数学归纳法证明，详参高考评分标准；这里给出运用柯西（）不等式的简捷证法：而由不等式得(时取等号)（），得证！例7已知用数学归纳法证明；对对都成立，证明（无理数）[解析]结合第问结论及所给题设条件（）的结构特征，可得放缩思路：..。于是，即【注】：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩：，即【例

5、8】已知不等式。表示不超过的最大整数。设正数数列满足：求证【简析】当时，即于是当时有..注：①本题涉及的和式为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论来进行有效地放缩；②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。再如：设函数。（Ⅰ）求函数最小值；（Ⅱ）求证：对于任意，有【解析】（Ⅰ）1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，对x>－1有，利用此结论进行巧妙赋值：取，则有即对于任意，有例9设，求证：数列单调递增且[解析]引入一个结论：若则（可通过构造一个等比数

6、列求和放缩来证明，略）整理上式得（），以代入（）式得即单调递增。以代入（）式得..此式对一切正整数都成立，即对一切偶数有，又因为数列单调递增，所以对一切正整数有。注：上述不等式可加强为简证如下：利用二项展开式进行部分放缩：只取前两项有对通项作如下放缩：故有二部分放缩例10设,求证：[解析]又（只将其中一个变成，进行部分放缩），，于是【例11】设数列满足，当时证明对所有有：；.【解析】用数学归纳法：当时显然成立，假设当时成立即，则当时，成立。..利用上述部分放缩的结论来放缩通项，可得【注】上述证明用到部分放缩，当然根据不

7、等式的性质也可以整体放缩：；证明就直接使用了部分放缩的结论。三添减项放缩上述例5之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。例12设，求证.[简析]观察的结构，注意到，展开得即，得证.例13设数列满足（Ⅰ）证明对一切正整数成立；（Ⅱ）令，判定与的大小，并说明理由。[简析]本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有法1用数学归纳法（只考虑第二步）；法2..则四利用单调性放缩1.构造数列如对上述例1，令则，递减，有，故再如例5，令则，即递增，有，得证！2．构造函数例14已知函数的最大值不大于，又当时（Ⅰ）求的

8、值；（Ⅱ）设，证明[解析]（Ⅰ）=1；（Ⅱ）由得且用数学归纳法（只看第二步）：在是增函数，则得例15数列由下列条件确定：，．（I）证明：对总有；(II)证明：对总有..[解析]构造函数易知在是增函数。当时在递增，故对(II)有，构造函数它在上是增函数，故有，得证。【注】①本题为02年高考北京卷题，有着深厚的科学背景：是计算机开平方