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1、不等式放缩技巧十法--------------------------------------------------------------------------作者:_____________--------------------------------------------------------------------------日期:_____________第六章不等式第二节不等式放缩技巧十法证明不等式，其基本方法参阅<数学是怎样学好的>(下册)有关章节.这里以数列型不等式的证明为例说明证明不等式的一个关键问题:不等式的
2、放缩技巧。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下十种：一利用重要不等式放缩1.均值不等式法例1设S1223n(n1).求证n(n1)Sn(n1)2.n22解析此数列的通项为akk(k1),k1,2,,n.kk(k1)kk1k1，22nn1)，kSn(kk1k12即n(n1)Sn
3、n(n1)n(n1)2.2222注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式abab，2若放成k(k1)k1则得Snn(n1)(n3)(n1)2(k1)，就放过“度”k122了！②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里nna1a1ana12an21annn1a1an其中，n2,3等的各式及其变式公式均可供选用。2例2已知函数f(x)1，若f(1)4，且f(x)在[0，1]上的最小值为11a2bx，求52证：f(1)f(2)f(n)n11.2n124x1111(x0)[简析]f(x)x14x2?2x14f
4、(1)Lf(n)(11)(11)L(11n)22222221(11L11)n11.n2nn12422例3求证Cn1n1Cn2Cn3Cnnn22(n1,nN).简析不等式左边Cn1Cn2Cn3LCnn=2n112222n1n1nn12222n1=n22，故原结论成立.【例4】已知a12a22Lan21，x12x22Lxn21，求证：a1x1a2x2anxn≤1.【解析】使用均值不等式即可：因为xyx2y2(x,yR)，所以有2a1x1a2x2Lanxna12x12a22x22Lan2xn2222a12a22Lan2x12x22Lxn2111
5、.2222其实，上述证明完全可以改述成求a1x1a2x2anxn的最大值。本题还可以推广为：222222若a1a2Lanp，x1x2Lxnq(p,q0)，试求a1x1a2x2anxn的最大值。请分析下述求法：因为xyx2y2(x,yR)，所以有2a2x2a2x2an2xn2a1x1a2x2Lanxn1122L2223a2a2La2x2x2Lx2pq.2n211n222故a1x1a2x2anxn的最大值为pq，且此时有akxk(k1,2,L,n)。2上述解题过程貌似完美，其实细细推敲，是大有问题的：取“＝”的条件是nak2nxk2akxk(
6、k1,2,L,n)，即必须有k1k1，即只有p=q时才成立！那么，pq呢？其实例6的方法照样可用，只需做稍稍变形转化：222222a12a22Lan21,x12x22Lxn21,(p)(p)(p)(q)(q)(q)La1x1a2x2Lanxn则有a1x1a2x2anxnpqpq222222pqa1a2Lan2)(x1x2Lxnpq2[(22222)](p)(p)(p)(q)(q)(q)于是，(a1x1a2x2anxn)maxakxk(k1,2,L,n).Lpq，当且仅当pqurr结合其结构特征，还可构造向量求解：设m(a1,a2,L,an
7、),n(x1,x2,L,xn)，则urrurr由
8、mn
9、
10、m
11、
12、n
13、立刻得解：
14、a1x1a2x2Lanxn
15、a12a22Lan2x12x22Lxn2pq.x1x2Lxn且取“＝”的充要条件是：a1a2an。特别提醒:上述题目可是我们课本上的原题啊!只是我们做了少许的推广而已!2．利用有用结论111)2n1.例5求证(11)(1)(1)(12n351简析本题可以利用的有用结论主要有：法1利用假分数的一个性质bbm(ba0,m0)可得aam42462n3572n11352n1(2n1)2462n1352n12462n(2462n)22n113
16、52n1即(11)(11)(11)(11)2n1.352n1法2利用贝努利不等式(1x)n1nx(nN,n2,x1,x0)的一个特例(11)2121(此处n2,x1)得2k12k12k112k
