第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题及解答

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1、第五届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛团体决赛口试试题及解答必答题(1—12题)1.纸板上已经画有一个60°的角，请你用一个正方形模板作工具(如图5-11)，在纸板上画出一个75°的角.图5-11答：正方形模板有以下三个功能：（1〕将已知线段延长，（2）画直角，（3）画450°角。于是可以得到画75°角的各种作法。作法1:将正方形模板的一个顶点与O重含，并使相对的项点落在射线ON上的C点处。设正方形模板落在∠MON内部的顶点为D。则∠DOC＝45°.∠MOD＝60°－45°＝15°.（见图5-11a）利用正方

2、形边画BO的反向延长线OB′，则∠DOB＝90°,所以∠B＇OM＝90°－15＝75°.作法2:将正方形模板的一个顶点与O重合，一个相邻顶点落在射线ON上的B点。设正方形模板落在∠MON内部的顶点为C，则∠COB＝45°。利用正方形模板画出∠MOB＇＝90°.这时，∠B＇OB＝30°所以∠COB＇＝45°＋30°＝75°（见图5-11b）作法3:利用正方形的边画ON的反向延长线OB′，再将正方形模板的一个顶点与O点重合，相对的顶点落在射线OB＇上的D点（如图5-11c），∠DOC＝45°，所以∠COM＝180

3、°－45°－60°＝75°.图5-11a图5-11b图5-11c评注：还有其它作法，同学们可以自己去试试看。121.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料.如图5-12所示：裁出七个同样大小的圆铝板.问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米?答：8平方厘米.图5-12理由：由图5－12可见，大圆直径是小圆直径的3倍。因此，大圆半径是小圆半径的3倍。所以一个小圆面积是平方厘米），七个小圆面积是4×7＝28（平方厘米）。因此所余边角料总面积是36－28＝8（平方厘米）。2.如图5-13，BD、CF将长方形ABCD

4、分成四块，红色三角形面积是4平方厘米.黄色三角形面积是6平方厘米.问：绿色四边形面积是多少平方厘米?图5-13答：绿色四边形面积是11平方厘米.理由：连结BF（见图5-13a）。则△BDF的面积＝△CFD的面积，上面二式同减△DEF的面积可得：图5-13a△BEF的面积＝△CED的面积＝6平方厘米。又由三角形面积公式所以△BCE的面积（平方厘米）.△BCD的面积＝△BCE的面积＋△CDE的面积＝9＋6＝15（平方厘米）△ABD的面积与△BCD的面积相等，也是15平方厘米。所以,四边形ABEF的面积＝△ABD的

5、面积－△DEF的面积＝15－4＝11（平方厘米）。3.正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米.M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点(图5-14).问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?答：三角形MNP的面积是2.25平方厘米.理由：12将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个面积为的小正三角形。于是正六边形ABCDEF被分成了24个面积为的小正三角形，如图5-14a。数一数三角形MNP由9个面积为的小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积＝×9＝2.25（平方

6、厘米）。图5-14图5-14b图5-14a另一方法：将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角肜，将另外三个面积为1平方厘米的正三角形分别拼在边BC、DE、AF外面（图5-14b）,得到一个大的正三角形XYZ，其面积是9平方厘米。这时，M、N、P分别是边XY、YZ、ZX的中点。三角形MNP的面积是三角形XYZ的面积的，所以三角形MNP的面积＝9×＝2.25（平方厘米）。1.27名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3，……，26，27这27个自然数.问：这些小运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码

7、数之和都是质数?请说明理由.答：不能办到.理由：27名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3，……，26，27这27个自然数，要便任意相邻两个运动员号码之和都是质数，相邻二运动员号码必定奇偶性相反，这表明号码为奇数的运动员与号码为偶数的运动员个数必相等。因此，运动员总数为偶数个。这与运动员个数是奇数（27）不符。所以，题设要求的站圈排列法是不能办到的。另一方法：共有27名小运动员，围成一圈，相邻两个运动员号码之和的个数共有27个，且都是质数，都是奇数，总和也是奇数。但是，另一方面，这个和又等于2×（1＋2＋3

8、＋……＋26＋27）是个偶数。这样就得出“奇数＝偶数”的矛盾。因此，题设要求的站圈排列法是不能办到的。评注：有趣的是，若将27名运动员排成一排，即“二十七名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3，…，26，27这二十七个自然数。问：这些小运动员能否站成一排，使得任意相邻两运动员号码数之和都是质数？”答案是可以办到。比如：3，26，5，24，7，22，9，20，11，18，13，16，15，14，17