从欧拉示性类到Morse 理论

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1、从欧拉示性类到Morse理论贺正需崔贵珍沈良拓扑是现代数学的一个很大的分支，近代数学可以说基本上是围绕拓扑发展的。有人作过统计，说获得菲尔兹奖的人中有二分之一是作拓扑研究的，当然这个统计有争议，但即使没有这么多，至少也有三分之一的人是在拓扑领域的，剩下的二分之一和三分之一之间，有一部分人可以说是作拓扑，也可以说是分析或者别的领域，所以说，这个理论对现代数学的影响确实很大。这个理论的教父就是18世纪最伟大的数学家欧拉，他所作的贡献遍布整个数学的领域。我今天要讲的是示性类和Morse理论，因为那时拓扑还处于萌芽阶段，所以问题都比较简单，你们绝对能听懂．欧拉当时的研究是从多面体开始

2、的，我们今天也从多面体开始讲。1欧拉示性类1．1多面体1．2欧拉示性类定义设多面体的顶点数为V、边数为E、面数为F。c＝V―E+F为多面体的欧拉示性类。下面我们列一个图表：顶点数V边数E面数Fc＝V―E+F正四面体4642正六面体81262正八面体61282正十二面体2030122正二十面体1230202亏格为0的多面体都是单连通的，这个现象就是欧拉定理：定理任何单连通多面体的欧拉示性类等于2：c＝V―E+F＝2．这个定理是整个拓扑学奠基的一个定理。因为凸多面体都是单连通的，所以我们有推论：推论对于任何凸多面体，其欧拉示性类等于2。对于有亏格的多面体，我们也有结论：定理对于亏

3、格为g的多面体，其欧拉示性类为2—2g．1．3对拓扑学的影响拓扑是上个世纪才形成的一个学科，简单地说，拓扑研究的就是像欧拉示性类这样的量，它是连续变化中的不变量，并且我们还可以考虑将这种量推广到高维的情形，如对n维流形，我们有定义：c＝A0一Al+A2一A3+……+(一1)nAn，其中A0＝顶点数，A1＝边数，A2=面数，A3=三维多面体数，…欧拉示性类是拓扑学的一个基本概念，对现代数学，理论物理等学科的发展起了关键作用。1．4应用作为欧拉示性类的一个有趣的应用，我们来证明一个古典的定理：定理除了前面提到的五种正多面体外，不存在第六种单连通的正多面体。这个定理的证明可以用几何

4、的方法，但最好的证明我认为是用拓扑的方法，因为它不用考虑角度，多面体可以放在任何空间，比如说双曲空间中也是不存在第六种正多面体的，下面这个证明对于任何空间的多面体都是成立的。证明任给一个正多面体，设它有V个顶点，E条边，F个面；每个顶点过k条边，每个面是j边形。因为每条边有2个顶点，每条边是2个面的交线，所以我们有kV=2E，jF=2E，而欧拉示性类c＝V―E+F＝2．因此我们有c＝V―E+F＝2E/k―E+2E/j=2，故1/k+1/j=1/2+1/E。因为k，j，E都是正整数，经过初等计算，所有可能的(k，j，E)为：(3，3，6)，(3，4，12)，(4，3，12)，(

5、3，5，30)，(5，3，30)．以上的五个解正好对应于五种正多面体，所以不存在第六种正多面体。1．5多面体的对偶性定义给一个平面图，每个面用一个点代替，有公共边的两个面所对应的点用线段连接，则得到一个新的图，称之为对偶的图。性质每个多面体都有对偶，对偶的对偶是自己。1．6正多面体的对偶正四面体的对偶是它自己；正六面体的对偶是正八面体，正八面体的对偶是正六面体；正十二面体的对偶是正二十面体，正二十面体的对偶是正十二面体。(V，E，F)→(F，E，V)2Morse理论Morse理论是建立在欧拉示性类基础上的，在任何维数都成立．其研究流形上光滑函数的临界点与流形本身拓扑结构之间的

6、关系，是拓扑学中重要的理论，在现代数学中有着极为重要的作用。2．1一维情形圆周是一个一维流形，设F是圆周上的光滑实函数，考察使得导数F'为0的点。设G(t)＝F(expit)，G(t)的周期为2π。那么Morse理论就是局部最大值的个数等于局部最小值的个数。2．2二维情形设想高低起伏的岛，F是高度函数(F(x，y)是坐标(x，y)点的高度)。考察它的峰点，洼点，以及如图所示的马鞍点(过山点)。设V是峰点数，P是洼点数，S是马鞍点数。Morse定理对于任何(随意构造)的岛，V—S+P＝1。2．3欧拉示性类的另一个应用圆形水池的水流：Figure在漩涡中心水速为零Brouwer不

7、动点定理(二维情形)不论水池中的水流多么复杂，总能找到一点，它的水速为零。此定理在高维也成立。在三维情形下，定理可以叙述为：在一个完全密封的房间里(空气可以在房间里任意流动)，总能找到一点，它的风速为零。证明的基本思想是欧拉示性类。2．4后续发展欧拉示性类的后续发展：Pontryagin示性类，Stiefel-Whitney示性类，陈省身示性类；应用：拓扑，几何，分析，物理；指标定理，规范场论，弦理论，等等；华人数学家丘成桐证明的Calabi—Yau定理．摘自《数学通报》2009.3(1~4)