从柏拉图多面体到欧拉公式.pdf

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1、从柏拉图多面体到欧拉公式壹、柏拉图多面体“多面体”是日常生活中经常看到的立体，它是被一些平面所包围的立体，例如粉笔盒、三棱镜、新光摩天大楼等等，那些包围多面体的多边形叫做多面体的面，两个面相交的线段叫做多面体的棱，棱与棱的交点叫做多面体的顶点。顶点是由三个或三个以上的面交会出来的。例如：右图中的立体中有5个面，9条棱，6个顶点。所谓“柏拉图多面体”(PlatonicPolyhedra)就是指正多面体，正多面体就是每个顶点处交会着相同数目全等的正凸多面体且每个立体角相等。正多面体会称为柏拉图多面体并不是因为柏拉图发现了正多面体，而是因为柏拉图及其追随

2、者对它们所作的研究而得名。贰、柏拉图多面体有多少个？(1)要谈柏拉图多面体有几个之前，先观察平面上的凸正n边形，n至少等于3，且(n-2)180(n-2)180每一个内角为，而<180，因此平面上的正凸n边形有无限nn多个。在空间中，柏拉图多面体是否会有无限多个呢？答案令人很惊讶！不仅不是无限多个，而且只有5个。古人对于这个事实虽不愿相信，却不得不接受，最后只好搬出“神的旨意”来承认这个事实。为何会说是“神的旨意”呢？原来在伽利略(Galiep1564~1642意大利人)发明望远镜之前，当时天空中人类只观察到五颗行星，因此这五个正多面体就

3、分别代表那五颗行星，这么的巧合，那一定是“神的旨意”，这样的想法，甚至影响了天文学家克卜勒(Kepler1571~1630德国人)，他曾试图去观察、计算各行星的轨道半径，周期与五个正多面体对应，可惜并未成功。(2)接下来我们来讨论柏拉图多面体的个数：我们从一个顶点出发，因为正多面体的每一个顶点处都是正n边形内角的顶点，我们先从简单的正多边形讨论起：(1)当正多边形是正三角形时，每一个正三角形的内角为60，若每一个顶点有3个正三角形，则会形成正四面体(Tetrahedon)若每一个顶点有4个正三角形，则会形成正八面体(Octahedron)若每一

4、个顶点有5个正三角形，则会形成正二十面体(Icsoahedon)但是当每一个顶点处有6个正三角形时，那么交会在这个顶点的面的角之总和为360，于是这些三角形构成一平面或是凹面，故表面是正三角形的柏拉图多面体只有3种。1(2)当正多边形是正方形时，每一个正方形的内角为90若每一个顶点处有3个正方形，则会形成正立方体(Hexahedron)。但是当每一个顶点处有4个正方形，那么交会在这个顶点的面的角之总和为360，于是这些三角形构成一平面或是凹面，故表面是正方形的柏拉图多面体只有1种。(3)当正多边形是正五边形时，每一个正五边形的内角为108

5、若每一个顶点处有3个正五边形，则会形成正十二面体(Dodecahedron)。但是当每一个顶点处有4个正五边形，那么交会在这个顶点的面的角之总和为360，于是这些三角形构成一平面或是凹面，故表面是正五边形的柏拉图多面体只有1种。(4)当正多边形是正六边形时，假如3个正六边形交会在一顶点处，那么这些面的角之总和=360，于是构成一个平面。从此处亦可看出多边形的面数愈多，它们的内角愈大，多于六边的正多边形其三个内角之总和将超过360，于是，无法将它们连接在一起而构成一正的凸多面体。正六面體タ砰タ砰タ砰正二十面體我们将上面的讨论整理如下：设正多

6、面体的所有面都是正n边形，每一个顶点的棱数都是m，换句话说，每个顶点的角都是m个角的顶点。2(n-2)180因为正n边形的每个内角=，就每个顶点而言，因为它是m个角的顶点，n(n-2)180所以在每个顶点的所有角度和=mn因为正多面体是凸多面体，所以在每一个顶点的所有角度和<360，(n-2)180所以m<360n2nm(n2)<2nm<(m,n都是不小于3的正整数)n-2解这个不等式当n=3时，m<6，得m=3,4,5；当n=4时，m<4，得m=3；10当n=5时，m<，得m=3；32n12当n6时，m<3，得此时

7、m,n无解。n-2n-2因此，我们只能得到五个关于m,n的解：n33345m34533名称正四面体正八面体正二十面体正六面体正十二面体叁、欧拉公式多面体的面数、棱数、顶点间的关系(1)几个立体的面数、棱数、顶点数一数柏拉图多面体的面数、棱数、顶点，结果如下表所示：正多面体顶点数(V)面数(F)棱数(E)正四面体446正六面体8612正八面体6812正十二面体201230正二十面体122030顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间有何关系呢？光看上面的表或许无法归纳出来，我们再多看几个立体：立体顶点数(V)面数(F)棱数(E)三角柱6593五角柱

8、10715五角锥6610塔顶体9916截角立方体10715(2)几个找规律的想法：(a)V是否随F增大呢？(b)F和V是否