关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记

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1、关于“矩阵的行列式不等式”的几点注记摘要本文给出了实矩阵的若干行列式不等式的证明，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。针对实矩阵，主要给出了五个命题阐述其行列式不等式，同时对有些命题作出了引申与进一步说明；针对复正定矩阵，给出了三个命题，在这三个命题的证明过程中用到了Schur定理和Holder不等式。关键词实矩阵；复正定矩阵；行列式；不等式SeveralNotesfor“InequalitiesontheDeterminantofMatrix”AbstractInthispaper,sev

2、eraldeterminantalinequalitiesonrealmatrixareproved.Asapplications,someinequalitiesondeterminantsofpositivelydefinitematricesareestablishedincomplexnumberfield.Fortherealmatrix,fivepropositionsaregiventoexplainitsdeterminantalinequalities,andsometime,ex

3、tensionsandfurtherstatesaremadeforsomepropositions.Forthecomplexpositivelydefinitematrix,threepropositionsaregiven,intheprocessoftheproofofthethreepropositions,theSchurtheoremandHolderinequalityareused.Keywordsrealmatrix;complexpositivelydefinitematrix

4、;determinant;inequality目录1引言与记号……………………………………………………………..……..12实矩阵的若干行列式不等式及证明………………………………………....13复数域中矩阵的若干行列式不等式……………………………………..……54结论（结束语）………………………………………………………..………95参考文献………………………………………………………………...……96致谢………………………………………………………………...…………10一引言与记号复（实）矩阵是数

5、学理论中的一个重要知识点，无论是对其应用上还是在进修考察中，都具有重要地位。而矩阵的行列式、矩阵的行列式不等式是矩阵理论的基础知识。基于此文中给出了实矩阵的若干行列式不等式，并在复数域上针对正定矩阵建立了行列式不等式。关于文中的符号，矩阵的转置记为；方阵的共轭转置记为；方阵的行列式记为或，其模记为；表示矩阵的特征值。二实矩阵的若干行列式不等式及证明命题1对于实数域上的阶矩阵、，若他们是正定矩阵，则.为了方便证明命题1，我们先证明命题（*）：在实数域上，对于阶矩阵、，若是正定矩阵，是对称矩阵，则存在可

6、逆矩阵，满足是对角阵。证明由的正定性知，与单位矩阵合同，则有（1）成立，这里是实可逆矩阵。又由于是对称矩阵，则是对称阵。从而存在正交矩阵，满足（2）这里是的特征值，.下令，则有（3）证毕。下面证明命题1：证明根据（3）式可知，在实数域上存在可逆矩阵，满足，这里是的特征值，且，.则由命题（*）的（1）式知由命题（*）的（2）式知又因为,是正交矩阵，所以,且由的正定性知，正定；又因为，那么（4）而（5）结合（4）（5）两式，得例1在实数域上，对于阶矩阵、，如果是正定矩阵，是半正定矩阵，则当且仅当时取等。

7、证明由题设可知正定，半正定，正定，则根据命题1可知.当时，;当时，的秩不小于1，而是正定矩阵，那么，存在实可逆矩阵，满足（6）（7）记,则秩.记的特征值为，因为的秩不小于1，是半正定矩阵，则至少存在一个，.事实上可设，则为的特征值，且，由（7）有…所以,结合（6）有,则,综上、，得证。例2对于半正定矩阵，若，证明：.证明令、，则根据例1即有成立。命题2若是正定矩阵，则.证明记由矩阵的正定性知，正定，且，.所以.同理可证；依次进行下去，可得.根据命题2可推出下面的一个命题：命题设是阶方阵的列向量，表示

8、列向量的长度，则有成立。注：在实数域上，命题的几何意义为：边长为的所有平行六面体，体积最大的是长方形。命题3若是阶实矩阵,且的元素满足（是常数），.则.证明根据题设条件可知是半正定矩阵，而（8）结合命题2可知（8）式中所以.故得证。注：该命题中的不等式称为Hadamard不等式。命题4在实数域上，记阶矩阵为，为维单位向量，则有成立，当两两正交时取等。证明由题设可知，是半正定矩阵，而这里.所以（9）则，故，从而，所以.一方面，当时，有或.又是半正定矩阵，则是正定矩阵，结