密码学中的算法问题及矩阵分析

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1、密码学中的算法问题及矩阵分析【摘要】本文关于密码学之中关于密码的破译，矩阵所起到的决定性的作用，来反映mod算法以及逆矩阵的运用。针对希尔密码以及维吉尼亚密码进行解剖分析，从而得出在密码的破译之中，mod26伴随着逆矩阵共同分解，能够更快更高效地破解密码。【关键词】mod26逆矩阵希尔密码维吉尼亚密码一、利用mod算法进行密码分析在线性代数中，对于一个阶矩阵，如果存在一个阶矩阵，使得，且为阶的单位矩阵，则称矩阵为矩阵的逆矩阵，并记为。例如2阶矩阵，则容易得到它的逆矩阵，。所使用的方法如下：　　　　一、.(其中为的伴随矩阵,为的

2、行列式的值)；二、是通过增广矩阵,在右侧附加一个阶单位矩阵,再通过初等变换将增广矩阵的左侧变换为一个阶单位矩阵,这时右侧便是所求的逆矩阵。关于密码学，我们所需要的是密钥矩阵，这里我们举一个例子：　　逆矩阵算法公式：　　例如密钥矩阵，，所以。知道了矩阵的算法，接下来就要开始从密码入手。我们所研究的是希尔密码，维吉尼亚密码这两大密码。先从第一个希尔密码入手。6二、各类密码学算法1.【希尔密码】希尔密码所用到的是Z26字母表。将英文单词中二十六个字母进行编号。如下表ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ12345678

3、91011121314151617181920212223242526我们随意地说出一句话，例如：Goodmoring.按照上表，可将字母转化为7151541315189147然后按照矩阵将数字按规律排好，如下71515413151891477　49105105289110512663984915　10522522560195225270135210105151052252256019522527013521010542860601652607236562813911951955216919523411718291151052

4、252256019522527013521010518126270270722342703241622521269631351353611713516281126631498210210561822102521261969871910510528911051266398496我们可以看到，希尔密码是将数列排好，依次相乘。得出的横列亦或者数列便是明文。若当我们用普通的算法进行解析的话，估计要算得十分庞大，也抑或寻找不到其中的规律，如果用Mod算法则容易得多。这是使用正矩阵的，而逆矩阵的使用算法则更加容易。假设密文为“FOAOES

5、WO”　FO AO ES WO　　6  1 5 23　　15 15 1915，，　　所以密文“FOAOESWO”的明文为“WEREDONE”由此我们可见mod算法与逆矩阵的效用，接下来是第二个密码的分析。2.【维吉尼亚密码】　　频率的分析可以很好地打破密码的禁锢，然而，维吉利亚密码将密钥与矩阵相结合，创造出了新的密码，从中进行剖析。　　加密算法：例如密钥的字母为[d]，明文对应的字母[b]。根据字母表的顺序[d]=4,[b]=2，那么密文就是[d]+[b]-1=4+2-1=5=[e]，因此加密的结果为[e]。解密即做此逆运算。

6、　　加密公式：密文 = (明文 + 密钥) Mod 26 - 1　　解密公式：明文 = [26 + (密文 - 密钥)] Mod 26 + 1　　假如对如下明文加密：　　to be or not to be that is the question　　当选定“have”作为密钥时，加密过程是：密钥第一个字母为[h]6，明文第一个为[t]，因此可以找到在h行t列中的字母[a]，依此类推，得出对应关系如下：　　密钥：ha ve ha veh av eh aveh av eha vehaveha　　明文：to be or not t

7、o be that is the question　　密文：ao wi vr isa tj fl tcea in xoe lylsomvn维吉利亚密码的特点便是将密钥矩阵和mod26的算法很好地融合在一起。也因而，如果要破解这一密码的话，要从矩阵以及mod26算法入手。3.【凯撒密码】　　也称凯撒移位，是最简单的加密方法之一，相传是古罗马恺撒大帝用来保护重要军情的加密系统，它是一种替代密码。　　加密公式：密文 = (明文 + 位移数) Mod 26　　解密公式：明文 = (密文 - 位移数) Mod 26　　例如JDBO　　只

8、需把每个字母都按字母表中的顺序依次后移一个字母即可——A变成B，B就成了C，依此类推。因此明文为：　　ICAN。　　英文字母的移位以移25位为一个循环，移26位等于没有移位。所以可以用穷举法列出所有可能的组合。　　例如：phhw ph diwhu wkh wrjd sduwb