导数的基础运用

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1、导数的基础运用本部分的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则，为基础层面；第二层次是导数的简单应用，包括求单调区间、函数的极值、证明函数的增减性等，为导数应用的重点层次；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结合，加强了能力考查力度，使试题具有更广泛的实际意义，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的思想方法，这类问题用传统教材是难以甚至无法解决的；为导数应用的较高层

2、次，用于设计压轴题，突出导数应用的灵活性与思想方法的交汇性。1.复合函数求导公式（1）复合层次的划分：对较为复杂函数准确求导的前提是：会熟练地进行复合函数层次的划分。以基本初等函数作为划分基本层次的标准。基本初等函数有以下六类：①常函数；②指数函数；③对数函数；④幂函数为常数）；⑤三角函数；⑥反三角函数（略）。（2）求导法则设，则。例如：①求导：②已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是．答案：①划分复合层次：，求导：；②法1（代换法）由―――――（1）得，即，―――――（2）∴联立（1）（2）消去得∴，

3、∴所求切线方程为，即．法2（复合函数求导法）两边求导得，令x=1得，在原式中令x=1得，于是所求切线方程为，即．注：法2用到复合函数求导的结论，此法的好处是可以不必求其解析式。2.抽象函数求导问题如：①设函数在上的导函数为，且，下面的不等式在上恒成立的是（）A.B.C.D.②已知对任意实数，有，且时，，则时（）A．B．C．D．③求下列函数的导数：(其中f(x)是可导函数)(1)y＝f()；(2)y＝f()．答案：①构造特殊函数，适合题意要求，排除B,D；若取，可以排除C；故选A.②用结论：奇函数在对称区间上单

4、调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，选B.③[解析]　(1)解法1：设y＝f(u)，u＝，则y′x＝y′u·u′x＝f′(u)·＝－f′.解法2：y′＝′＝f′·′＝－f′.(2)解法1：设y＝f(u)，u＝，v＝x2＋1，53.求导与单调性：若函数在区间I上可导，且使的点x仅有有限个，则在区间I上为严格递增（减）函数的充要条件为：对一切有例如：①若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是________．②已知函数在R上是减函数，求a的取值范围。③已知函数f(x)=在(－2，

5、＋∞)内单调递减，求实数a的取值范围。④已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3在R上不是单调增函数，则b的范围为________．答案：①y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax<0在区间(0,2)内恒成立，即a>x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.②递减对任意恒成立③错解：f′(x)=，由f(x)在(－2，＋∞)内单调递减，知f′(x)≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立，即≤0在x∈(－2，＋∞)内恒立。因此，a≤。剖析：上题看似正确，实际上却忽视了一个重要问题：未验证f′(x)是否恒为零。因为f(x)在

6、区间D上单调递增（或递减）的充要条件f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在任一子区间上不恒为零。而当a=时，f(x)=不是单调递减函数，不合题意。故a的取值范围是④[答案]　b<－1或b>2[解析]　若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，∴－1≤b≤2，由题意b＜－1或b＞2.4.求导与极值：若当时且当时，则为在上的极大（小）值。注意：（1）正确理解极值定义：（2）极值也可能在不可导点取得，如：在处取得极小值，但是不可导。（3）驻点即满足的点不一定是取得极值的点，如：

7、在点处。综上，满足的点是此点是极值点的既不充分也不必要条件。例如：①函数f(x)=(x2－1)3＋2的极值点是（）A、x=2B、x=－1C、x=1或－1或0D、x=0②求的极值点。③已知函数的导数，若在处取到极大值，则的取值范围是。（状元之路50页5）④函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2，在x＝1时有极值10，则a、b的值为(　　)A．a＝3，b＝－3，或a＝－4，b＝11B．a＝－4，b＝1，或a＝－4，b＝11C．a＝－1，b＝5D．以上都不正确⑤已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(

8、1，＋∞)内恒成立，实数a的取值范围为________．答案:①错解:f(x)=x6－3x4＋3x2＋1,则由f′(x)=6x5－12x3＋6x=0得极值点为5x=1，x=－1和x=0，故正确答案为C.正解:事实上，这三点只是驻点(导数等于0的点)，由f′(x)=6x5－12x3＋6x=6x(x＋1)2(x－1)2知，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；当x