全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(83)

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1、加试模拟训练题（83）KLNMCBA2. 数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差．第4页共4页3.已知平面上n(n＞2)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线．4.设，。（1）若，求证：是完全平方数（2）存在无穷多个，使得第4页共4页加试模拟训练题（83）KLNMCBA2. 数列｛an｝定义为a1=a2=1，an+2=an+1+an．求证：当n≥2时，a2n-1必是数列中某两项的平方和，a2n必是数列中某两项的平方差．【题

2、说】1990年南昌市赛二试题1．此数列即为斐波拉契数列．【证】数列的前4项为1，1，2，3，因此对一切自然数n≥2， 3.已知平面上n(n＞2第4页共4页)个点，其中任意三点都不在一直线上．试证：在经过这些点的所有闭折线中，长度最短的一定是简单闭折线．【题说】1971年～1972年波兰数学奥林匹克三试题2．简单闭折线即不自身相交的闭折线．【证】设已知点为A1，A2，…，An，L为经过这些点的最短的闭折线．若L不是简单闭折线，则L有两段，设为AiAj、AsAt相交于内点P，这时AiAt＋AsAj＜AiP＋PAt＋AsP＋PAj＝AiAj＋AsAt因此将L中的线段AiAj、AsAt改为

3、AiAt、AsAj，则折线的长度减少，与L的最小性矛盾，从而L一定是简单闭折线．4.设，。（1）若，求证：是完全平方数（2）存在无穷多个，使得解析：，，。可以得到，得证。可以得到，取即可。第4页共4页