全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(41)

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1、加试模拟训练题（41）1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．2、f为定义于非负实数集上的且取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；(2)f(2)＝0；(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．第4页共4页3、集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几个？(1)i，j∈A，i≠j则f(i)≠f(j)；(2)i，j∈A，i＋j＝7，则f(i)＋f(j)＝7．4、求所有的正整数n、m，满

2、足．第4页共4页加试模拟训练题（41）1、设H是锐角△ABC的垂心，由A向以BC为直径的圆作切线AP、AQ，P、Q为二切点．求证：P、H、Q三点共线．【题说】1996年中国数学奥林匹克(第11届数学冬令营)题1．【证】设BC中点为O，连结AO，PQ，交于G，则AO⊥PQ．在Rt△AQO中，由射影定理有AQ2＝AG·AO(1)作AD⊥BC于D，则H在AD上．连结BH，延交AC于E，则BE⊥AC，且E在圆周上．而有H、D、C、E共圆，从而AH·AD＝AE·AC＝AQ2(2)由(1)、(2)，得AH·AD＝AG·AO因此H、D、O、G共圆．从而∠H

3、GO＝180º－∠HDO＝90º，即H在PQ上．【另证】设BC中点为O，AD、BE为高，则AD、BE都过H，并且E在以BC为直径的圆上，O是这圆的圆心．因为∠ADC＋∠HEC＝90º＋90º＝180º，所以E、C、D、H四点共圆，AH·AD＝AE·AC．又AQ是⊙O切线，所以AE·AC＝AQ2．因为AH·AD＝AQ2，所以△AHQ∽△AQD，∠AHQ＝∠AQD．同理，∠AHP＝∠APD．因为P、D、Q都在以OA为直径的圆上，所以∠AQD＋∠APD＝180º．从而∠AHQ＋∠AHP＝180º，即P、H、Q三点共线．2、f为定义于非负实数集上的且

4、取非负数值的函数，求所有满足下列条件的f：(1)f(xf(y))f(y)＝f(x＋y)；(2)f(2)＝0；(3)f(x)≠0，当0≤x＜2．【题说】第二十七届(1986年)国际数学奥林匹克题5．本题由英国提供．解：如果ω＞2，那么在(1)中取y＝2，x＝ω－2，就得f(ω)＝f((ω－2)f(2))·f(2)＝0因为x≥0，在(1)中令0≤y＜2，则这样一来，当0≤y＜2，x＞0时，有第4页共4页综合上述，所求的f是不难验证这一函数满足题中条件．3、集合A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}，满足下列条件(1)、(2)的A到A上的映射f有几

5、个？(1)i，j∈A，i≠j则f(i)≠f(j)；(2)i，j∈A，i＋j＝7，则f(i)＋f(j)＝7．【题说】1994年日本数学奥林匹克预选赛题8．【解】记A0＝{0，7}，A1＝{1，6}，A2＝{2，5}，A3＝{3，4}．由条件(2)可知Ai中元素的像必在同一个Aj．由(1)，不同的Ai，相应的Aj不同．于是i与j(1≤i，j≤4)的有序对有4！种配法，而各个Aj中的元素作为像可以互换，因而有24种．故所要求的映射共有4×24＝384(种)4、求所有的正整数n、m，满足．解原方程等价于．显然，．当时，．设，其中．于是，．因此，，即．

6、又因为，得到，即．则．当时，有，．当时，有，矛盾．综上所述，是原方程的唯一一组解．第4页共4页