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时间:2019-01-07
《全国高中数学竞赛二试模拟训练题1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、..加试模拟训练题(14)1、非等腰的内切圆圆心为,其与分别相切于点,分别交圆于,中的角平分线分别交于点,证明(1)是的角平分线;(2)如果是和的两个外接圆的交点,则点在直线上。2、对任意实数,试证:资料..3、设是正整数,我们说集合{1,2,…,2}的一个排列()具有性质P,是指在{1,2,…,2-1}当中至少有一个,使得求证,对于任何,具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.4、求方程的整数解,其中是质数,是大于1的正整数,并证明你所得到的解是全部解.资料..加试模拟训练题(14)1、非等腰的内切圆圆心为,其与分别相切于点,分别交圆于,中的角平分线分别交于点,证明
2、(1)是的角平分线;(2)如果是和的两个外接圆的交点,则点在直线上。证明(1)因为∽,∽,所以有,从而有,即是的角平分线。(2)设的外心为,连,则。由于,所以,于是有,即与相切于。同理与的外接圆相切于,从而在与的外接圆的根轴上,即三点共线。2、对任意实数,试证:证明:当时,所证不等式显然成立.当不全为零时,将所证不等式可变形为资料..令①①式中的均可取一切实数(不同时为零即可).不妨取变量作为考查对象.(1)当时,,由,得即(2)当时,将①式整理,得可以为0,当时,不等式显然成立;当时,因,,即或由得当时,不等式显然成立;当时,即即解得:或同理,由,得,对任意实数都满足的充
3、要条件是:解得综合以上,可得的取值范围是:由此可得即所证不等式成立.资料..3、设是正整数,我们说集合{1,2,…,2}的一个排列()具有性质P,是指在{1,2,…,2-1}当中至少有一个,使得求证,对于任何,具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.(1989,第30届IMO试题6)【证明】设A为不具有性质P的排列的集合,B为具有性质P的排列的集合,显然为了证明,只要得到就够了.使作容斥原理.设()中,与相邻的排列的集合为则由容斥原理得=4、(普特南竞赛题)求方程的整数解,其中是质数,是大于1的正整数,并证明你所得到的解是全部解.解析:容易看到两个质数中肯定有一个为2
4、,不妨假设,,即。若,从余数去讨论,,为奇数。,所以,,提取公因数,有,从奇偶性可以看出这种情形方程无解。为偶数,注意到。,,令,,观察最后两项,只能,,,从而资料..综上,考察到对称性,原方程恰有两组解:资料
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