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时间:2019-06-16
《全国中学生数学竞赛二试模拟训练题(83)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、加试模拟训练题(83)KLNMCBA2. 数列{an}定义为a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当n≥2时,a2n-1必是数列中某两项的平方和,a2n必是数列中某两项的平方差.第4页共4页3.已知平面上n(n>2)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度最短的一定是简单闭折线.4.设,。(1)若,求证:是完全平方数(2)存在无穷多个,使得第4页共4页加试模拟训练题(83)KLNMCBA2. 数列{an}定义为a1=a2=1,an+2=an+1+an.求证:当n≥2时,a2n-1必是数列中某两项的平方和,a2n必是数列中某两项的平方差.【题
2、说】1990年南昌市赛二试题1.此数列即为斐波拉契数列.【证】数列的前4项为1,1,2,3,因此对一切自然数n≥2, 3.已知平面上n(n>2第4页共4页)个点,其中任意三点都不在一直线上.试证:在经过这些点的所有闭折线中,长度最短的一定是简单闭折线.【题说】1971年~1972年波兰数学奥林匹克三试题2.简单闭折线即不自身相交的闭折线.【证】设已知点为A1,A2,…,An,L为经过这些点的最短的闭折线.若L不是简单闭折线,则L有两段,设为AiAj、AsAt相交于内点P,这时AiAt+AsAj<AiP+PAt+AsP+PAj=AiAj+AsAt因此将L中的线段AiAj、AsAt改为
3、AiAt、AsAj,则折线的长度减少,与L的最小性矛盾,从而L一定是简单闭折线.4.设,。(1)若,求证:是完全平方数(2)存在无穷多个,使得解析:,,。可以得到,得证。可以得到,取即可。第4页共4页
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