【精校word含答案】2013年普通高等学校招生全国统一考试北京卷(数学理)

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1、绝密★启用并使用完毕2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。(2013北京理)（1）已知集合，，则（）B（A）（B）（C）（D）(2013北京理)（2）在复平面内，复数对应的点位于（）D（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限(2

2、013北京理)（3）“”是“过坐标原点”（）A（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件（C）充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(2013北京理)（4）执行如图所示的程序框图，输出的值为（）C（A）（B）（C）D）(2013北京理)（5）函数的图象向右平移个单位长度，所得图象与曲线关于轴对称，则（）D（A）（B）（C）（D）(2013北京理)（6）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）B（A）（B）（C）（D）(2013北京理)（7）直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（）C（A）

3、（B）（C）（D）(2013北京理)（8）设关于的不等式组表示的平面区域内存在点，满足，求得的取值范围是（）C（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分。(2013北京理)（9）在极坐标系中，点到直线的距离等于_____。1(2013北京理)（10）若等比数列满足，，则公比__________;前项_____。2，(2013北京理)（11）如图，为圆的直径，为圆的切线，与圆相交于，若，，则__________，__________(2013北京理)（12）将序

4、号分别为的张参观券全部分给人，每人至少张，如果分给同一人的张参观券连号，那么不同的分法种数是__________。96(2013北京理)（13）向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则__________。4(2013北京理)（14）如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在线段上，点到直线的距离的最小值为__________三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(2013北京理)（15）（本小题共13分）在中，，，。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值。【解析】（1）由正弦定理得，所以，

5、，即。（2）由余弦定理得，所以，即，解得或（舍）。(2013北京理)(16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天。（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设是此人停留期间空气质量优良的天数，求的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【解析】（1）某人随机选择3月1日至3月13日中的

6、某一天到达该市，共有13种可能。到达当日空气重度污染有2种可能。所以概率为。（2）X可能取值为0，1，2.分布列如下X012P。（3）5，6，7三天。(2013北京理)（17）（本小题共14分）如图，在三棱柱中，是边长为的正方形。平面平面，，。（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使得，并求的值。【解析】（1）是正方形，。又，。（2），。分别以为建立所示的空间直线坐标系。则，，，，设平面的法向量为，平面的法向量，，，。可得可取。。由图可知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以余弦

7、值为。（3）点D的竖轴坐标为t(0

8、当点是的右顶点，且四边形为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点不是的顶点时，判断四边形是否可能为菱形，并说明理由。【解析】（1）线段OB的垂直平分线为，，，，所以菱形面积为。（2）四边形OABC不可能是菱形，只需要证明若OA=OC。则A点与C点的横坐标相等或互为相反数。设OA=OC=r（r>1)，则A、C为圆与椭圆的交点。，,点与C点的横坐标互为相反数或相等，此时B点为顶点。因此四边形OABC不可能是