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《一道最值问题的三种视角_六种解法_洪汪宝》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、·辅教导学·数学通讯———2016年第5、6期(上半月)73→3x2F2(槡3,0),M(m,0),所以PF1=(-槡3-x0,(槡3-m)x0+1-槡3m0+4-y0),PF→(槡3-x,-y),PM→=(m-x0,2=00槡32+x0-y0),所以2→22(-槡3-x)23x0|PF1|=槡0+y0-(槡3+m)x0++1+槡3m42=,2x0槡3=槡(-槡3-x0)+1-=2+2x0,2-槡3x042→223|PF2|=槡(槡3-x0)+y0化简整理得(m-x2)=0.0)(x0-4422x0槡3=(槡3-x0)+1-=2-2x0,又x2,所
2、以m=3x0,而x0∈(-2,2),槡40≠44→→2PF1·PM=(-槡3-x0)(m-x0)+y033所以m∈(-,).222x0=(-槡3-x0)(m-x0)+1-4向量也是数形结合的最佳载体,当解析几何23x0问题中涉及到夹角、平行、垂直、共线、求动点轨迹=(槡3-m)x0++1-槡3m,4等问题时,都可以用向量来解决,一旦发挥向量这→→2PF2·PM=(槡3-x0)(m-x0)+y0一强大工具的作用,解题过程就会更具有简单美2x0和结构美.=(槡3-x0)(m-x0)+1-423x0=-(槡3+m)x0++1+槡3m,(收稿日期:2016-0
3、1-15)4代入①式得一道最值问题的三种视角、六种解法洪汪宝(安徽省安庆市第一中学,246004)题目已知x,y是满足(2xy-1)2=(5y+(x-1)2=(5+1)(1-1),12y2y2y2)(y-2)的正实数,求x+的最大值.2y15111∴x-=(+)(-),这是江苏省泰州市2016届高三第一次模拟考2y槡2y2y试的第13题,是填空题倒数第二题,是一道有限制115111∴x+=+(+)(-).条件的最值问题,具有入口宽、深入难、难度比较2yy槡2y2y大、解法灵活多样、突出能力立意等特点,着重考令1=t,则t∈(0,1),y2查学生的运算变形能力、综合分析
4、问题和解决问151题的能力.x+=t+(+t)(-t).2y槡22一、函数视角解法1由条件(2xy-1)2=(5y+2)(y-设f(t)=t+(5+t)(1-t),t∈(0,槡222,整理得2)知y>2,两边同除以4y1),则f(t)=t+31-4(t+1)2.22槡974数学通讯———2016年第5、6期(上半月)·辅教导学·令t+1=3cosθ,由t∈(0,1),可设θ∈(0,9槡2-4x=.228arccos2),则故x+1的最大值为33槡2-1.2y233点评将二元化为一元,构造函数是解题的f(t)=g(θ)=cosθ-1+sinθ22关键,根据函数解析式的特
5、点进行三角换元、求3π3=槡2sin(θ+)-1≤槡2-1,导、利用重要不等式a+b≤槡2(a2+b2)(a>0,242π23b>0)都可求出函数的最大值.当θ=∈(0,arccos),即t=槡2-1,434二、方程视角9槡2-4时,x+1取到最大值,解法4设x+1=t,则2xy+1=2yt,代y=8+6槡2,x=82y2y入(2xy-1)23=(5y+2)(y-2),得最大值为槡2-1.2(2yt-2)2=(5y+2)(y-2),解法2同解法1得展开整理得(4t22511-5)y+(8-8t)y+8=0,f(t)=t+(+t)(-t),t∈(0,).槡222这个关于
6、y的方程有正实根,则其判别式Δ=t+1(8-8t)222对f(t)求导得f′(t)=1-,令-32(4t-5)≥0,于是2t+4t-7≤0,52-2t-t33槡4解得-1-槡2≤t≤-1+槡2.223f′(t)=0,解得t=4槡2-1.所以,t的最大值即x+1的最大值为-1+2y3当t∈(0,4槡2-1)时,f′(t)>0,函数f(t)39槡2-4,满足题意.槡2,此时y=8+6槡2,x=2831单调递增;当t∈(槡2-1,)时,f′(t)<0,函点评先整体换元再消元得到关于y的二次42方程,因为其有解,利用判别式非负得到不等关3数f(t)单调递减.因此,当t=槡2-
7、1时,即y=4系,不过要注意验证等号成立的条件.三、不等式视角8+6槡2,x=9槡2-4时,f(t)取到最大值3槡2-解法5由条件(2xy-1)282=(5y+2)(y-1.2)得(2xy-1)213=[6y-(y-2)](y-2)故x+的最大值为槡2-1.2y22=-(y-2)+6y(y-2)解法3同解法1得22,=-[(y-2)-3y]+9y51),t∈(0,1).两边同时除以4y2,得f(t)=t+(+t)(-t槡222(x-1)2+(1+1)2=9.于是2yy4292111f(t)=槡(t+1)+-(t+1)-1∴x+=(x-)+(+1)-1
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