线性代数1.3按行(列)展开

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1、§1.3行列式按行（列）展开引入1一、定义n阶行列式中，划去元素aij所在的第i行和第j列元素，余下的元素按原来顺序构成一个n-1阶行列式，称为元素aij的余子式，记做Mij。称为元素aij的代数余子式。【注】行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.2如四阶行列式的余子式:代数余子式:12)1(111111-=-=+MA2110111111320121---=D21111111311--=M=－123四阶行列式的余子式:代数余子式:2110111111320121---=D321011102123

2、-==M3)1(233223=-=+MA4定理:n阶行列式D＝

3、aij

4、等于它的任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即或二、行列式展开定理按第i行展开按第j列展开5说明：该定理可作为行列式的等价定义。按某行（列）展开，本质是对行列式降阶，是降阶简化计算行列式的重要方法，特别适用于某行（列）零元较多的情形。证明思路：(详细证明见教材)1°两边项数相同；2°右边各项都是D中的项；3°右边各项的符号与在D中的符号相同。6例1利用行列式的展开计算行列式的值【评注】一般应选取零元素最多的行或列进行展开;或

5、者选取一行或列,利用行列式的性质5,将这一行或列的元素尽可能多的化为零,然后按这一行或列进行展开;这样方便计算。7解将行列式按第1列展开D=2-（-2）=-488推论：行列式D的任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.证明在中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素，得D19第i行=0.按第i行展开得【注】Aij既是D1中第i行第j列元素的代数余子式，也是D中第i行第j列元素的代数余子式。10综上，得公式11例2：计算范德蒙行列式111131211221232221132

6、111111--------.......................=nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxD12n-1阶范德蒙行列式13依此类推，可得：14例3：计算行列式2764812591642534251111=D解：）（）（）（）（）（）（432324535452-.-.-.-.-.-=D12=15例4计算【析】按第1行或第1列展开16三、拉普拉斯（Laplace）定理定义在n阶行列式D=

7、aij

8、中，任意选取k行k列,(1≤k≤n),位于这些行和列交叉处的k2个元素按原来顺序组

9、成的一个k阶行列式M，称为行列式D的一个k阶子式。在D中，划去这k行k列后，余下的元素按原来顺序组成的一个n-k阶行列式N，称为k阶子式M的余子式。称为k阶子式M的代数余子式。其中，是k阶子式M在D中所在的行号和列号。17定理：（拉普拉斯定理）在n阶行列式D中，任意选取k行(1≤k≤n)，由这k行元素组成的所有k阶子式与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式D的值，即Mi是D的由选定的k行生成的子式，Ai是Mi的代数余子式，i＝1，2，…t.18例5：计算19例6：计算2n阶行列式第n行第n+1行20例7计算n+

10、m阶行列式按前n行展开n阶m阶2122定义法化三角形法：利用性质化为三角形行列式降阶法（展开定理）直接降阶：按行列式中非零元素较少的行（列）展开间接降阶：利用行列式性质，使行列式的某行（列）具有较少的非零元，再按其展开.普遍法则行列式的计算23常用技巧拆分法：A=B+C数学归纳法（不讲）递推法行列式的计算提取因子法：行(列)和相等时，各行(列)加到第一行(列)，提取公因子，再继续化简。24特殊行列式计算行列式的计算箭头形（或爪形）行列式,,,范德蒙行列式等等，自己总结规律。25作业习题一17(1)26