专题三 第1讲

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1、第1讲　等差数列、等比数列的基本问题高考定位1.等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现；2.数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下.真题感悟1.(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为()A.1B.2C.4D.8答案C2.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一

2、层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案B考点整合热点一　等差、等比数列的基本运算答案(1)B(2)64探究提高1.第(2)题求解的思路是：先利用等比数列的通项公式构建首项a1与公比q的方程组，求出a1，q，得到{an}的通项公式，再将a1a2·…·an表示为n的函数，进而求最大值.2.等差(比)数列基本运算的解题途径：(1)设基本量a1和公差d(公比q).(2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.答案(1)1(2)B热点二

3、　等差(比)数列的性质【例2】(1)(2017·汉中模拟)已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2＋log2a8＝2，则T9的值为()A.±512B.512C.±1024D.1024(2)(2017·北京海淀区质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an－2，若数列{bn}满足bn＝10－log2an，则使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为________.解析(1)由log2a2＋log2a8＝2，得log2(a2a8)＝2，所以a2a8＝4，则a5＝±2，等比数列{an}的前9项积为T9

4、＝a1a2…a8a9＝(a5)9＝±512.(2)∵Sn＝2an－2，∴n＝1时，a1＝2a1－2，解得a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2－(2an－1－2)，∴an＝2an－1.∴数列{an}是公比与首项都为2的等比数列，∴an＝2n.∴bn＝10－log2an＝10－n.由bn＝10－n≥0，解得n≤10.∴使数列{bn}的前n项和取最大值时的n的值为9或10.答案(1)A(2)9或10探究提高1.利用等差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行

5、求解.2.活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题.【训练2】(1)设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则()A.d>0B.d<0C.a1d>0D.a1d<0(2)(2017·开封质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝5，Sm＝－11，Sm＋1＝21，则m等于()A.3B.4C.5D.6解析(1)因为数列{2a1an}为递减数列，所以2a1an<2a1an－1，则a1an

6、0.答案(1)D(2)C热点三　等差(比)数列的判断与证明【例3】(2014·全国Ⅰ卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数.(1)证明：an＋2－an＝λ；(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由.(1)证明由题设，anan＋1＝λSn－1，①知an＋1an＋2＝λSn＋1－1，②②－①得：an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.∵an＋1≠0，∴an＋2－an＝λ.(2)解由题设可求a2＝λ－1，∴a3＝λ＋1，令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋

7、2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列.【迁移探究1】若把本例题的条件a1＝1变为a1＝2，求解问题(2).【迁移探究2】在本例题(2)中是否存在λ，使得{an}为等比数列？并说明理由.【训练3】(2017·全国Ⅰ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1

8、，Sn，Sn＋2是否成等差数列.热点四　等差数列与等比数列的综合问题【例4】已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}